中小学习题试卷教育文档 其中正确的个数是（ ） A. 1 【答案】C 【解析】
试题分析：对于①“在中，若，则” 的逆命题为“在中，若，则”，若，则，根据正弦定理可知，，所以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由，或，得不到，比如，，不是的充分条件；若，则一定有，则，即能得到，或，是的必要条件，是的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“”的否定是“” ,所以③不对；对于④“若，则”的否命题为“若，则”；所以④正确，故选C．
考点：1、四种命题及其关系；2、充要条件及全称命题的否定． 12.已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数 的零点个数是（ ） A. 0 【答案】B 【解析】
试题分析：令.，即当时，，为增函数，当时，，为减函数，函数在区间上为增函数，故在区间上有一个交点.即的零点个数是. 考点：1.函数与导数；2.零点.
【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的的零点，可以转化为，也就是左右两个函数图象的交点个数，函数在区间上为增函数，通过已知条件分析,即当时，，为增函数，当时，，为减函数，由此判断这两个函数在区间上有一个交点. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.点到抛物线准线的距离为2，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】
求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可． 【详解】抛物线的标准方程为：，准线方程为：， ，解得或． 故答案为：或
【点睛】本题考查抛物线方程，简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题．
14.已知实数满足，则的最大值是______． 【答案】 【解析】
B. 1
C. 2
D. 3
B. 2
C. 3
D. 4
中小学习题试卷教育文档 【分析】
先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值. 【详解】
作出不等式组所表示的平面区域如图所示， 由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率 结合图形可知，当直线过OB时斜率最小，OA斜率最大， 由于可得，此时 故答案为：．
【点睛】利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。 15.若，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】
利用两角和的正弦公式，余弦公式，二倍角公式化简已知等式，可求，，进而利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角的余弦函数公式可求，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解． 【详解】，可得：， 两边平方可得，，解得：， ，可得：， 由解得：，
又，可得：，两边平方，可得：，， ．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 16.菱形边长为，，将沿对角线翻折使得二面角的大小为，已知、、、四点在同一球面上，则球的表面积等于__________． 【答案】 【解析】
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如图，点分别为外接圆的圆心，点为球心，因为菱形边长为，，所以，，，故答案为. 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.在中，所对应的边分别为，且． 1求角的大小；
2若，将函数的图象向右平移个单位后又向上平移了2个单位，得到函数的图象，求函数的解析式及单调递减区间． 【答案】（1）；（2），，． 【解析】 【分析】
1由题意利用余弦定理求得的值，可得角A的大小;2利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得单调递减区间． 【详解】1中，，， ，．
，将函数的图象向右平移个单位后又向上平移了2个单位，得到函数， ， 令，求得，
故函数的单调减区间为，．
【点睛】本题主要考查余弦定理，函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题． 18.设数列满足：，，且 1求数列的通项公式； 2设数列，，设的前项和证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
1由已知得，从而推导出是首项为1，公差为的等差数列，由此能求出数列的通项公式;2由，利用裂项相消法能证明． 【详解】1数列满足：，，且， ， 又，， ，，
是首项为1，公差为的等差数列， ，
2证明：数列，，
中小学习题试卷教育文档 ，． 故
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．这个题目也涉及了数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。
19.已知如图，平面，四边形为等腰梯形，，.
（1）求证：平面平面；
（2）已知为中点，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】
试题分析：（1）连接，过作于，过作于，由三角形内角和定理可得，由平面，可得，从而可得平面，由面面垂直的判定定理可得结论；（2）由（1）知，，∴为直角三角形，为中点，设到平面距离为，根据“等积变换”可求得，进而可得与平面所成角的正弦值. 试题解析：（1）连接，过作于，过作于. 在等腰梯形中，∵，∴. ∴，则，， ∴即， ∵平面，平面， ∴，∴平面， 又平面，∴平面平面.
（2）∵由（1）知，，∴为直角三角形，为中点，设到平面距离为， ∴ ， ∵， ∴， 即 ，∴.
∴与平面所成角的正弦值等于.
20.某校高一班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
1求分数在的频数及全班人数；
2求分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间矩形的高；
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