年 级 课程标题 编稿老师 八年级 学 科 数学 版 本 通用版 分式中的特殊运算 李朝华 一校 黄楠 二校 林卉 审核 郭莹 一、分式的混合运算
分式的混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。
归纳：
①运算过程中，要注意运算顺序，在没括号的情况下，按从左向右的方向，先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的要先算小括号，再算中括号，最后算大括号的顺序运算；
②分子或分母的系数是负数时，要把“-”转化为分式本身的符号；
③在解题过程中，要掌握“1”的使用技巧，“1”可以化成任意一个分子、分母相同的分式。
二、分式运算中常用的方法
分式运算是以分式的性质为基础，根据分式的结构特征，通过适当的变形、转化、运用适当方法就会使运算过程变得容易，起到事半功倍的效果。 1. 改变“运算符号”
对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式分母的运算符号提出来，变成同分母分式进行相加减即可。
如：
x1x1x?1?????1 x?11?xx?1x?1x?12. 拆分法
有些分式的分母具有一定的规律，我们可以把它拆分成两个分式相减的形式，用来简化运算。 如：
111 ??a(a?1)aa?13. 换元法
对于有些分式的分子和分母都含有多项式，并且这些多项式大多相同，这时我们可以把每一个多项式看成一个整体，用一个简单的字母来代替它进行运算，起到简化运算的效果，最后不要忘记再替换过来。 4. 因式分解法
对有些分式的分母是多项式时，直接运算会很繁琐，通常为了简化运算，我们可以把这些多项式进行因式分解，找出规律约分，起到简化运算的效果。
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如：
1(a?b)2?1(a?b)=(2a?b1?111)(?) a?ba?ba?b总之，分式运算方法有多种，在分式的实际运算中，我们要认真观察，反复思考，不断地归纳，寻找规律，以便能准确迅速计算出结果。
ba?22b ?2a2例题1 计算3a3bbababa??3(?)??23322ababab??2解析：本题我们如果直接去计算，计算量是很大的。从题中我们可以看到分式的分子和分母中都含有
b2a2ba,，因此我们可以用换元法，用字母x，y来代替它们简化运算，大大的提高了运算速度，ab最后不要忘记再替换回来。
答案：解：设
2ba=x,=y，则xy＝1，于是 ab2原式=
x?y?2xyx?y?3xy(x?y)2233?x?yx?y?2xy22?(x?y)x?y ?32(x?y)（x?y）2bab?a2222?b?aabb?a所以原式=ab=ab ??2?222bab2?a2abb?ab?a?abababc例题2 设a、b、c均为正整数，若＜＜，则a、b、c的大小是 。
a?bb?ca?c解析：首先根据a、b、c均为正整数，确定a+b、b+c、a+c、a+b+c也为正整数，再通过
ca?b＜
abbabacc＜分为＜、＜、＜分别通分，因式分解，判b?ca?ca?ba?cb?ca?ca?bb?c答案：∵a、b、c均为正整数，∴a+b、b+c、a+c、a+b+c也为正整数， ?c2+ac＜b2+ab， ?b2-c2+ab-ac＞0，
?（b-c）（b+c）+a（b-c）＞0 ?（b-c）（a+b+c）＞0，
断出b＞c、b＞a、a＞c，综合得出b＞a＞c。
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?b＞c，
?ac+a2＜b2+bc， ?b2-a2+bc-ac＞0，
?（b+a）（b-a）+c（b-a）＞0， ?（b-a）（a+b+c）＞0， ?b＞a，
?a2+ab＞bc+c2， ?a2+ab-bc-c2＞0，
?（a+c）（a-c）+b（a-c）＞0， ?（a-c）（a+b+c）＞0， ?a＞c， 综上，c＜a＜b。
点拨：我们运用因式分解法，把分式进行因式分解后可以进行约分，大大地简化了分式，提高了运算的速度。
巧用拆分法解决规律问题
分式的混合运算、分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分．同时注意最后结果应为最简分式。
例题 用你发现的规律解答下列问题。
11111111?1-，?＝-，?-… 1?222?3233?434（1）计算
11111++++= 。 1?22?33?44?55?61111+++…+= 。（用含有n的式子表示） 1?22?33?4n??n?1?（2）探究
（3）
111171+++…+的值为，n= 。 1?33?55?735?2n?1???2n?1?解析：根据所给的等式可得
111=-，据此可求出（1）、（2）的值；
nn?1n??n?1?（3）依据进而可求n。
111171=（-）先展开，再合并，可化简（3）式，求出的结果等于，
35n??n?2?2nn?2第 3 页
答案：解：（1）原式=1-
1111115+-+…+-=1-=； 2235666（2）原式=1-
111111n+-+…+-=1-=；
223nn?1n?1n?111111111n（3）原式=×（1-+-+…+-）=×（1-）=，
233522n?12n?12n?12n?1根据题意可得：
17n=，解得n=17。
2n?135故答案为：(1)一、选择题 1. 化简(1?5n； (2)； (3)17。 6n?14a)?的结果是（ ） a?2a?2A.
aa+2a-2a B. C. D.
a+2aaa-22m42. 化简(?)?(m?2)的结果是（ ）
m?22?mA. 0 B. 1 C. -1 D.
(m+2)
2xyx?y3. 化简(?)?的结果是（ ）
yxxA.
x+yx-y1 B. C. D. y
yyy11x+9为整数，则符合条件的x有（ ） ++2x+3x-3x-9*4. 已知x为整数，且
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
5. 已知：a1=x+1（x≠0且x≠-1），a2=1÷（1-a1），a3=1÷（1-a2），…，an=1÷（1-an-1），则a2019等于（ ）
A. x B. x+1 C. ?二、填空题
x1 D.
x?1x22a?2a?1?(a?1)?2*6. 计算：=_______。 a?1a?2a?1第 4 页
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