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人教版高中数学选修2-1
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
全称量词与存在量词
【学习目标】
1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念；
2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“?” “? ”来表述相关的教学内容； 3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法； 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【要点梳理】
要点一、全称量词与全称命题 全称量词
全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.
常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“?”表示，读作“对任意”.
全称命题
全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 一般形式：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，
记作：?x?M，p(x)（其中M为给定的集合，p(x)是关于x的语句）.
要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.
要点二、存在量词与特称命题 存在量词
定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.
常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“? ”表示，读作“存在 ”.
特称命题
特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.
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一般形式：“存在M中一个元素x0，有p(x0)成立”，
记作：?x0?M，p(x0)（其中M为给定的集合，p(x)是关于x的语句）. 要点诠释：
（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在??R,??R使
sin(???)?sin??sin?.
（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.
（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述
要点三、 含有量词的命题的否定 对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题p：?x?M，p(x)
p的否定?p：?x0?M，?p(x0)；
从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意
x?M,p(x)”的否定为“?x0?M，?p(x0)”.
对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题p：?x0?M，p(x0)
p的否定?p：?x?M，?p(x)；
从一般形式来看，特称命题“?x0?M，p(x0)”，它的否定并不是简单地对结论部分
p(x0)进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“?x0?M，p(x0)”
的否定为“?x?M，?p(x)”.
要点诠释：
(1) 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题； (2) 命题的否定与命题的否命题是不同的.
(3) 正面词：等于 、 大于 、小于、 是、 都是、 至少一个 、至多一个、 小于等于 否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.
要点四、全称命题和特称命题的真假判断
①要判定全称命题“?x?M，p(x)”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证
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明p(x)成立；要判定全称命题“?x?M，p(x)”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，即举一反例即可.
②要判定特称命题“?x0?M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；要判定特称命题“?x0?M，p(x0)”是假命题，必须证明在集合M中，使 p(x)成立得元素不存在.
【典型例题】
类型一：量词与全称命题、特称命题
例1.指出下列两个含有量词的命题中使用了什么量词及量词的作用范围，并把量词用相应的数学符号表示.
（1） 对任意正实数a,a2?a?2?0；
（2） 对某个大于10的正整数n，(2)n?1024. 【解析】
（1）命题（1）中有量词“任意”，这是一个全称量词，它的作用范围是正实数集合.命题（1）可以写成“?a?0,a2?a?2?0”.
（2）命题（2）中有量词“某个”，这是一个存在量词，它的作用范围是大于10的正整数集合.命题（2）可写成“?n?10,n?N*,(2)n?1024.
【总结升华】 判断一个命题是否含有全称量词和存在量词，关键是看命题中是否有“所有”，“任意”，“任何”，“存在”，“有的”，“至少有”等词语，或隐含有这些词语的意思.
举一反三：
【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题： （1） 任何一个实数除以1仍等于这个数； （2） 等边三角形的三边相等； （3） 存在实数x0，使x02?3?0。
【答案】（1）全称命题，（2）全称命题，（3）特称命题
【全称量词与存在量词395491例1】
【变式2】判断下列命题是全称命题还是特称命题. （1）?x?R，x2+1≥1； （2）所有素数都是奇数；
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