【解析】分析:(Ⅰ)利用等差数列的定义证明数列先计算出
是等差数列. (Ⅱ)
.
再利用裂项相消求出,再证明不等式:
,
可得,
,显然
,
,
详解:(Ⅰ)由于
所以两边同除以所以数列
是1为首项,2为公差的等差数列.
,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以所以所以
.
,
.
点睛:本题主要考查等差数列的证明和裂项相消求和,属于基础题. 20. 已知函数
且x=1时,y=f(x)取极值. (Ⅰ)求函数(Ⅱ)求函数(Ⅲ)若方程【答案】(1)
的解析式; 在
上的最大值和最小值;
有三个不同的实数根,求实数m的取值范围.
(2)最大值为4,最小值为-146.(3)
,若曲线
在点
处的切线斜率为1,
【解析】分析:(Ⅰ)根据已知条件得到关于a,b的方程组,再解方程得到a,b的值,即得函数
的解析式. (Ⅱ)先求出函数
在
在
上
的极值和端点函数值,再比较它们,即得函数上的最大值和
最小值. (Ⅲ)先作出函数y=f(x)的图像,再观察它和直线y=m的关系得到实数m的取值范围.
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详解:(Ⅰ)
由题意得,所以
,
解得
.
,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,令,x ,得
,
的值随x的变化情况如下表: -4 (-4,1) + 1 2 0 - 单调递减 0 + 单调递增 单调递增 极大值 极小值 函数值 ∵∴
-146 4 4 ,,,,
在[-4,2]上的最大值为4,最小值为-146.
的图象与直线
(Ⅲ)方程f(x)=m有三个不同的实数根,即y=m有三个交点. 由(Ⅱ)分析可得,函数
在
单调递增,在单调递
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减,在单调递增,而,,所以.
点睛:本题主要考查导数的几何意义、导数求函数的最值和导数研究函数的零点问题,属于中档题. 21. 已知抛物线
的焦点F与椭圆
的右焦点重合.
(Ⅰ)求抛物线C的标准方程;
(Ⅱ)斜率为-1的直线l交抛物线C于不同两点A,B,求证:
.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】分析:(Ⅰ)根据已知得到p的值,即得到抛物线C的标准方程. (Ⅱ)先利用韦达定理求出证明不等式.
详解:(Ⅰ)由
∴
,即p=2.
.
.
,所以椭圆
在右焦点F(1,0), ,再利用基本不等式
所以抛物线C的标准方程为
(Ⅱ)设直线l的方程为y=-x+b,将它代入抛物线得则
,,设
.
,
又由直线l交抛物线C于不同两点A,B, 可得而
令t=b+3,则t>2. 所以
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,所以.
,
.
当
,即
,
时,等号成立.
点睛:求变量的取值范围常用函数的方法.一般先求变量的解析式,再求函数的定义域,再求函数的取值范围. 所以本题先求利用韦达定理求出
,再求b的范围,最后利用基本
不等式证明不等式.这种方法在高中数学中常用,大家要注意理解掌握和灵活运用.
22. 某公司为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销,经调查,每年投入广告费t百万元,可增加销售额约为元.
(Ⅰ)若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此增加的收益最大?
(Ⅱ)现该公司准备共投入5百万元,分别用于广告促销和技术改造,经预测,每投入技术改造费
百万元,可增加的销售额约为
百万
百万元,请设计一个资金分配方案,使该公司由此增加的收益最大.
(注:收益=销售额-投入,这里除了广告费和技术改造费,不考虑其他的投入)
【答案】(1)投入3百万元的广告费时,该公司由此增加的收益最大.(2)4百万元用于技术改造,1百万元用于广告促销,该公司由此增加的收益最大
【解析】分析:(Ⅰ)先写出收益f(t)的解析式,再利用二次函数的图像和性质求最大值和此时t 的值. (Ⅱ)设由此增加的收益是g(x)百
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