高中数学空间几何体的内切球与外接球问题

空间几何体的内切球与外接球问题

1． [2016 ·全国卷Ⅱ ] 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 (

32 C． 8π D． 4π A．12π

B. 3

[解析 ]A 因为正方体的体积为 8，所以正方体的体对角线长为 2 3，所以正方体的外接球

的半径为 3，所以球的表面积为 4π· ( 3)2＝ 12 π .

2．[2016 全·国卷Ⅲ ] 在封闭的直三棱柱 ABC - A1B1C1内有一个体积为 V 的球．若 AB⊥BC， AB＝6， BC＝8，AA1＝3，则 V 的最大值是 ( )

9π D.32π A．4π C．6π 3

B. 2

[解析 ]B 当球与三侧面相切时，设球的半径为r 1 ，∵ AB⊥ BC ，AB＝ 6，BC ＝8，∴8－r1＋6 －r1＝ 10，解得 r1＝2，不合题意；当球与直三棱柱的上、下底面相切时，设球的半径为 r2，

ππ

3

3

3 3 4 9 33439

则 2r2＝3，即 r 2＝ 2.∴球的最大半径为 2，故 V 的最大值为 3π × 2 ＝2π. 3. [2016 郑·州模拟 ] 在平行四边形 ABCD 中，∠ CBA ＝ 120°， AD ＝4，对角线 BD＝2 3， 将其沿对角线 BD 折起，使平面 ABD ⊥平面 BCD ，若四面体 ABCD 的顶点在同一球面上， 则该球的体积为 _____ 答案： 203 5π；解析：因为∠ CBA＝ 120°，所以∠ DAB＝60°，在三角形 ABD 中，由余弦

3

定理得 (2 3)2＝42＋AB2－2×4·AB·cos 60°，解得 AB＝ 2，所以 AB⊥BD.折起后平面 ABD⊥ 平面 BCD，即有 AB⊥平面 BCD ，如图所示，可知 A，B，C，D 可看作一个长方体中的四

22

易知个顶点， 长方体的体对角线 AC 就是四面体 ABCD 外接球的直径， AC ＝ 2＋4＝2 5，

20 5 所以球的体积为

4. [2016 山·西右玉一中模拟 ] 球 O 的球面上有四点 S，A，B，C，其中 O，A，B，C 四点共 面，△ ABC 是边长为 2 的正三角形，平面 SAB⊥平面 ABC ，则棱锥 S-ABC 的体积的最大 值为 ( )

A. 3 B. 3 C．2 3 D ．4

选 A；[解析] (1)由于平面 SAB⊥平面 ABC，所以点 S在平面 ABC 上的射影 H 落在

AB上，

3

所以 SH＝ 233 2－ 33 2＝1，

根据球的对称性可知， 当 S在“最高点”， 即 H 为 AB的中点时， SH最大，此时

棱锥 S-ABC

的体积最大．

23 2×2＝ r＝OC＝CH＝× 3因为△ ABC 是边长为 2 的正三角形，所以球的半径

3

31

OH在 Rt△SHO 中， ＝2OC＝ ，

3，

2

2

3

3

3

故所求体积的最大值为 13× 4 2

×2×1＝ .

3.

3

5. [2016 赣·州模拟 ] 如图 7-38-19 所示，设 A，B，C，D 为球 O 上四点， AB ，AC，AD 两两 垂直，且 AB ＝AC＝ 3，若 AD ＝ R(R 为球 O 的半径 )，则球 O 的表面积为 ( )

图 7-38-A．π B．2π C．4π D ．8π 选 D；解析：因为 AB，AC，AD 两两垂直，所以以 AB， AC，AD 为棱构建一个长方体，如

图所示，则长方体的各顶点均在球面上， AB＝AC＝ 3，所以 AE＝ 6，AD＝R，DE＝ 2R，

则有 R2＋6＝(2R)2，解得 R＝ 2，所以球的表面积 S＝ 4πR2＝8π .

6. [2016 安·徽皖南八校三联 ] 如图所示，已知三棱锥 A-BCD 的四个顶点 A，B，C，D 都在球 O 的表面上， AC⊥平面 BCD，BC⊥CD，且 AC＝ 3，BC＝2，CD＝ 5，则球 O 的表面积 为( )

A ． 12 π B． 7πC ．9π D ．

[解析 ]A 由 AC⊥平面 BCD，BC⊥CD 知三棱锥 A-BCD 可以补成以 AC，BC，CD 为三

2222

条棱 的长方体，设球 O 的半径为 R，则有 (2R)＝AC＋BC＋CD＝3＋4＋5＝12，所以 S 球＝4π R2＝ 12π .

7．[2016 福·建泉州质检 ] 已知 A，B，C 在球 O 的球面上， AB＝1，BC＝2，∠ ABC ＝60°， 且点 O 到平面 ABC 的距离为 2，则球 O 的表面积为 ．

答案： 20π [解析 ] 在△ABC 中用余弦定理求得 AC＝ 3，据勾股定理得∠ BAC 为直 角，故 BC 的中点 O1即为△ ABC 所在小圆的圆心， 则 OO1⊥平面 ABC ，在直角三角形 OO1B 中可求得球的半径 r＝ 5，则球 O 的表面积 S＝ 4πr2＝ 20π. 8

8 [2016 河·南中原名校一联 ] 如图 K38 - 16 所示， ABCD-A1B1C1D1 是边长为 1