第2讲 解三角形
1．(仿2012·上海,17)在△ABC中,若sinA＋sinB＞sinC.则△ABC的形状是
( )．
A．锐角三角形 C．钝角三角形
2
2
2
2
B．直角三角形 D．不能确定
2
2
2
2
2
a2＋b2－c2
解析 由正弦定理变形及sinA＋sinB＞sinC可得a＋b＞c.由cos C＝可
2ab知cos C＞0又∵0＜C＜π,所以C为锐角,但不能说明△ABC为锐角三角形． 答案 D
2．(仿2012·天津,6)在锐角△ABC中,BC＝1,B＝2A,则AC的取值范围是( )．
A．[－2,2] C．(0,2]
π
0＜π－3 A＜，??2
解析 由题意得?π
0＜2 A＜??2
B．[0,2] D．(2,3)
?
ππ
＜A＜, 64
由正弦定理＝得AC＝2cos A.
sin Bsin AACBC?ππ?∵A∈?，?,∴AC∈(2,3)． ?64?
答案 D
3．(仿2013·辽宁,6)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sinA＋sinC－sinB＝3sin Asin C,则角B为 A.C.π 6π 2
2
2
2
2
2
2
( )． B.D.π 3π 4
a2＋c2－b23ac3
解析 由正弦定理可得a＋c－b＝3ac,所以cos B＝＝＝,所以B2ac2ac2
π
＝. 6答案 A
4．(仿2012·北京,20)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差
1
数列,a＝1,b＝3,则S△ABC等于 A.2 C.3 2
( )． B.3 D．2
π2
解析 由角A,B,C依次成等差数列,得A＋C＝2B,解得B＝.由余弦定理得(3)＝1＋
3
c2－2ccos,解得c＝2或c＝－1(舍去)．于是S△ABC＝acsin B＝×1×2sin＝答案 C
π31212π33. 2
5．(仿2011·福建,14)如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD＝10,AB＝14,∠BDA＝60°,∠BCD＝135°,则BC的长为
( )．
A．82 C．142
2
B．92 D．83
2
2
解析 在△ABD中,设BD＝x,则BA＝BD＋AD－2BD·AD·cos∠BDA, 即14＝x＋10－2·10x·cos 60°, 整理得x－10x－96＝0, 解得x1＝16,x2＝－6(舍去)．
22
2
2
BCBD16
由正弦定理得＝,∴BC＝·sin 30°＝82.
sin∠CDBsin∠BCDsin 135°
答案 A
6．(仿2011·上海,6)据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后,树的上半部分折成与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是________．
解析 如图,设树干底部为O,树尖着地处为B,折断点为A,则∠ABO＝45°,∠AOB＝75°,
2
AO20206
∴∠OAB＝60°.由正弦定理知＝,∴AO＝米．
sin 45°sin 60°3
答案
206
米 3
7．(仿2013·天津,6)在△ABC中,B＝60°,AC＝3,则AB＋2BC的最大值为
________．
解析 A＋C＝120°?C＝120°－A,A∈(0°,120°), ＝2?BC＝2sin A,
sin Asin B＝＝
＝2?AB＝2sin C＝2sin(120°－A)＝3cos A＋sin A,
sin Csin B∴AB＋2BC＝3cos A＋5sin A＝28sin(A＋φ)＝27sin(A＋φ),其中tan φ＝故最大值是27. 答案 27
8．(仿2012·福建,13)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知a、b、c成等比数列,且a－c＝ac－bc,则A＝________,△ABC的形状为________． 解析 ∵a、b、c成等比数列,∴b＝ac. 又a－c＝ac－bc,∴b＋c－a＝bc.
2
2
2
2
2
2
2
2
BCABACAC3
,5
b2＋c2－a2bc1
在△ABC中,由余弦定理得cos A＝＝＝,∴A＝60°.
2bc2bc2b222
由b＝ac,即a＝,代入a－c＝ac－bc,
c2
整理得(b－c)(b＋c＋cb)＝0, ∴b＝c,∴△ABC为正三角形． 答案 60° 正三角形
9．(仿2013·山东,17)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,4sin7＝. 2
(1)求角A的度数；
(2)若a＝3,b＋c＝3,求△ABC的面积．
3
2
332
B＋C2
－cos 2A解 (1)∵B＋C＝π－A,即由4sin
2
B＋Cπ
2＝－, 22
AB＋C7
－cos 2A＝, 22
72A得4cos－cos 2A＝, 22
72
即2(1＋cos A)－(2cosA－1)＝, 2整理得4cosA－4cos A＋1＝0, 即(2cos A－1)＝0.
1
∴cos A＝,又0°＜A＜180°,∴A＝60°.
2
22
b2＋c2－a2b2＋c2－a21
(2)由A＝60°,根据余弦定理cos A＝,得＝.
2bc2bc2
∴b＋c－bc＝3, 又b＋c＝3, ∴b＋c＋2bc＝9. ①－③得bc＝2.
??b＝1，
解②④得?
?c＝2?
2
2
2
2
① ② ③ ④
??b＝2，
或?
?c＝1.?
13
∴S△ABC＝×1×2×sin 60°＝.
22
10．(仿2013·全国Ⅱ,17)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设平面向量e1＝
?2cos C，c－b?,e＝?1a，1?,且e⊥e.
?2?2?12
2?????
(1)求cos 2A的值；
(2)若a＝2,求△ABC的周长L的取值范围．
c??11?c???解 (1)∵e1⊥e2,∴e1·e2＝?2cos C，－b?·?a，1?＝2cos C·a＋?－b?·1＝0,
2??22?2???
即acos C＋－b＝0∴2acos C＋c－2b＝0.
2根据正弦定理得：2sin Acos C＋sin C＝2sin B, ∴2sin Acos C＋sin C＝2sin(A＋C),
∴2sin Acos C＋sin C＝2sin Acos C＋2cos Asin C, ∴2cos Asin C＝sin C,∵sin C≠0,
1π2π1
∴cos A＝,A∈(0,π)∴A＝∴cos 2A＝cos＝－.
2332
4
c(2)由余弦定理得
a＝b＋c－2bccos A＝b＋c－bc＝(b＋c)－3bc≥(b＋c)－
2222222
b＋c4
2
＝
b＋c4
2
即
b＋c≤4a2＝4,当且仅当b＝c＝2时取等号,由构成三角形的条件知b＋c＞a＝2,
即b＋c∈(2,4]∴L＝a＋b＋c∈(4,6]．
5
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