专题综合检测(六)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
y22
1．如果实数x，y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是(D)
x
A. B.
1233
C. D.3 32
2．(2014·上海卷)已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同
??a1x＋b1y＝1，
的点，则关于x和y的方程组?的解的情况是(B)
?a2x＋b2y＝1?
A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解
解析：由题意，直线y＝kx＋1一定不过原点O，P，Q是直线y＝kx＋1上不同的两点，
??a1x＋b1y＝1，→→
则OP与OQ不平行，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程组?一定有唯一解．
?ax＋by＝122?
xy
3．已知椭圆2＋＝1(a＞5)的两个焦点为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB过点F1，则△ABF2
a25的周长为(D)
2
2
A．10 B．20 C．241 D．441
4．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为(A)
A．－7 B．－1 C．－1或－7 D.
xy
5．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知PF1⊥PF2，则△F1PF2的面
259积为(A)
2
2
133
A．9 B．12 C．10 D．8
1
xy
6．椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－2＝0的最大距离是(D)
164
2
2
A．3 B.11 C．22 D.10
xy
7．(2014·全国大纲卷)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心
ab率为
3
，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为(A) 3
2
2
2
2
2
xyx
A.＋＝1 B.＋y2＝1 323xyxy
C.＋＝1 D.＋＝1 128124
c32222
解析：如图，∵e＝＝，∴a＝3c，∴b＝a－c＝2c，∵△AF1B的周长为|AF1|＋
a3|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝43，∴a＝3，∴c＝1，∴b＝2，∴所xy
求的椭圆成为＋＝1.故选A.
32
2
2
2
2
2
2
2
8．已知点P是椭圆16x＋25y＝400上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为－43，则△PF1F2的面积是(C)
2
2
A．243 B．123 C．63 D．33
xy
9．(2014·天津卷)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝
ab2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(A)
xyxy
A.－＝1 B.－＝1 5202053x3y3x3y
C.－＝1 D.－＝1 2510010025
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
b
解析：由已知得＝2，∴b＝2a，在方程y＝2x＋10中令y＝0，得x＝－5，∴－c＝－5，
axy
∴c＝a＋b＝5a＝25，a＝5，b＝20，∴所求双曲线的方程为－＝1.故选A.
520
2
2
2
2
2
2
2
2
xy
10．如果椭圆＋＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是(D)
369
2
2
A．x－2y＝0 B．x＋2y－4＝0 C．2x＋3y－12＝0 D．x＋2y－8＝0
11．(2015·烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为(A)
xyxy
A.＋＝1 B.＋＝1 86166xyxy
C.＋＝1 D.＋＝1 84164
xy43
解析：设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．由点(2，3)在椭圆上知2＋2＝1.又
ababc12
|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，＝，又c＝
a2a－b，联立解得a＝8，b＝6.
xy
12．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点F，椭圆与过原点的直线交于A，B两点，
ab4
连接AF，BF，若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝，则C的离心率为(B)
5
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
A. B. C. D.
解析：如图，在△AFB中，由余弦定理，得|AF|＝|AB|＋|BF|－2|AB||BF|cos∠ABF，4222222
∴6＝10＋|BF|－20|BF|×，解得|BF|＝8.∴|AF|＋|BF|＝|AB|，△AFB为直角三角形．
5
2
2
35574567
3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) xy
13．与椭圆＋＝1具有相同的离心率且过点(2，－3)的椭圆的标准方程是
43____________或____________．
xy3y4x答案：＋＝1 ＋＝1
862525
1
14．(2015·新课标Ⅱ卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±x，则该双
2曲线的标准方程为__________________________．
1
解析：解法一 ∵ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，
2∴ 可设双曲线的方程为x－4y＝λ(λ≠0)． ∵ 双曲线过点(4，3)，∴ λ＝16－4×(3)＝4， x2
∴ 双曲线的标准方程为－y＝1.
4
11
解法二 ∵ 渐近线y＝x过点(4，2)，而3＜2，∴ 点(4，3)在渐近线y＝x的下
221
方，在y＝－x的上方．
2
∴ 双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为 xy
2－2＝1(a＞0，b＞0)． ab
b1??a＝2，??a＝4，
由已知条件可得?解得?
?b＝1，163?
??a－b＝1，
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2
∴ 双曲线的标准方程为－y＝1.
4x2
答案：－y＝1
4
15．若过定点(－1，0)且斜率为k的直线与圆x＋4x＋y－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________________．
答案：(0，5)
2
2
2
2
4
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