放缩法与数学归纳法

数学归纳法

数学归纳法

一.知识梳理

(1) 数学归纳法的基本形式

设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°P(n0)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)， 则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立 (2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等

二．常用公式（放缩法） 1．

11121?2??? 2．

k(k?1)kk(k?1)k?k?1kk2k2k?k?1

3．2?k(k?4) 4．1?2?3?????k?2(k?2) 5．

11?11?????（待学） 6．a?b?a?b （待学） k！2（?k?1)！k！?二．放缩技巧

所谓放缩的技巧：即欲证A?B，欲寻找一个（或多个）中间变量C，使A?C?B， 由A到C叫做“放”，由B到C叫做“缩”. 常用的放缩技巧

（1）若t?0,a?t?a,a?t?a

n?n?1，n?1?1?n?1，n(n?1)?n2?n

1111111??2???(n?1) （3）?nn?1n(n?1)nn(n?1)n?1n2212????2(n?n?1) （4）2(n?1?n)?n?1?nn?nnn?n?1aaaa?m?,?（5）若a,b,m?R，则?

bb?mbb111111（6）1????????1??2?????n?1

2!3!n!2221111111111?)（因为2?（7）1?2?2?????2?1?(1?)?(?)?????(）

n(n?1)n23n223n?1n1111111n????????????????1 （7）

n?1n?2n?32nn?1n?1n?1n?11111111n1??????????????? ? 或

n?1n?2n?32n2n2n2n2n2（2） 2n? - 1 -

数学归纳法

（8）1?111111n???????????????n等等。 23nnnnn

二、典型例题讲解

【例1】(09山东) 等比数列?an?的前n项和为sn，已知对任意的n?N,，点(n.Sn)均

x在函数的图象上y?b?r(b?0b?1,b,r均为常数)

（Ⅰ）求r的值。 （Ⅱ）当b=2时，记

bn?2(log2an?1)(n?n)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

求证：对任意的n?N,不等式成立

b?1b1?1b2?1??…n?n?1 b1b2bnx?解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数的图像

上.所以得

Sn?bn?r,当

n?1时,

a1?S1?b?r,当

n?2nn?1nn?1n?1时,an?Sn?Sn?1?b?r?(b?r)?b?b?(b?1)b,又因为{an}为等比数列,所以

r??1,公比为b,an?(b?1)bn?1

n?1（2）当b=2时，an?(b?1)bn?1?2n?1, bn?2(log2an?1)?2(log22?1)?2n

则

b?1357b?1b2?1bn?12n?1·······n???,所以1?bbb246bn2n12n2n?1 2n2n?1?n?1成立. 2n下面用数学归纳法证明不等式

b?1357b1?1b2?1·······n???b1b2bn246① 当n?1时,左边=

33,右边=2,因为?2,所以不等式成立. 22② 假设当n?k时不等式成立,即

b?1357b1?1b2?1·······k???b1b2bk2462k?1?k?1成立.2k?2k?12k?3? 2k2k?2则当n?k?1时,左边=

b?1bk?1?1357b1?1b2?1·······k????b1b2bkbk?12462k?3(2k?3)24(k?1)2?4(k?1)?11?k?1????(k?1)?1??(k?1)?1 2k?24(k?1)4(k?1)4(k?1)所以当n?k?1时,不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

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数学归纳法

【例2】(09陕西）已知数列?xn}满足， x1＝11xn＋1＝,n?N*. 2’1?xn???猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；

(Ⅱ)证明：|xn?1-xn|≤()证（1）由x1?1265n?1。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 112513及xn+1?得x2??x4?，x4? 21?xn3821由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明：

（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知x2k?0，那么x2k?2?x2k?4?x2k?3?x2k?111??

1?x2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3) =

x2k?x2k?2?0

(1?x2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)即x2(k?1)?x2(k?1)?2

也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，xn?1?xn?x2?x1?1，结论成立 611?

1?xn?12当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn??(1?xn)(1?xn?1)?(1?15)(1?xn?1)?2?xn?1?

1?xn?12xn?xn?111?xn?1?xn???

1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)222xn?xn?1?（）xn?1?xn?2?55

12n-1?（）65?

2n-1?（）x?2x51w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 三、同步练习

一、选择题

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数学归纳法

1．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、

－

c的值为 ( )

111

A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝

2441

C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a、b、c

4

2.(1)已知

f(n)?11??n?1n?2?1(n?N?)，则f(k?1)?（ ） 3n?1A．f(k)?C.f?k??11B．f(k)?

3(k?1)?1 3k?211111D．f(k)????3k3k?13k?2 3k?4k?1

3用数学归纳法证明34n?1?52n?1(n?N)能被8整除时，当n?k?1时， 34(k?1)?1?52(k?1)?1可变形为（ ）

·34k?1?25(34k?1?52k?1) Ａ．56 Ｂ．34·34k?1?52·52k

Ｃ．34k?1?52k?1 Ｄ．25(34k?1?52k?1)

3an14.（1）已知a1=,an?1=,a2,a3,a4,a5则的值分别为_________，由此猜想

2?3anan=_________.

2（2） 设bn?(n?1)，an?n(n?1)， 求证:

1115??…?? a1?b1a2?b2an?bn12

(放缩法)

5.已知数列{ (1)求数列{(2)设数列{比较

bnn}是等差数列，

b =1, b?b?...b11210=145.

b13}的通项公式}的通项

n?1bn;

1?a1ana=lognbn (其中a＞0且a≠1)记sn是数列{an}的前n项和，试

s与nlogba的大小，并证明你的结论.

6.设实数q满足|q|＜1,数列{又如果n??

an}满足：

a1?2,

a2≠0,

a·ann?1=－

qn,求

an表达式，

lim

sn＜3,求q的取值范围.

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