(课标通用版)2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线检测(文)

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＝＋.由题意得＋＝×.又p>0，解得p＝22.所以抛物线C的方程为y＝42x. 2p2p2p答案：y＝42x

5．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

??y＝k（x－1），2222

由?2得kx－(2k＋4)x＋k＝0. ?y＝4x?

2

2

2k＋4Δ＝16k＋16>0，故x1＋x2＝2.

2

2

k4k＋4

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝2.

2

k4k＋4

由题设知2＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.

2

k因此l的方程为y＝x－1.

(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，

y0＝－x0＋5，??2则? （y0－x0＋1）2

（x＋16.0＋1）＝?2?

??x0＝3，??x0＝11，?解得或? ?y0＝2?y0＝－6.??

因此所求圆的方程为(x－3)＋(y－2)＝16或(x－11)＋(y＋6)＝144.

6．(综合型)如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，

2222

y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．

5

解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2

＝2px(p>0)． 因为点P(1，2)在抛物线上， 所以22

＝2p×1， 解得p＝2.

故所求抛物线的方程是y2

＝4x，准线方程是x＝－1. (2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB. 则ky1－2

PA＝

x(x1≠1)， 1－1

ky2－2PB＝x(x2≠1)，

2－1

因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补， 所以kPA＝－kPB.

由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，

?y2

得??1＝4x1，①??y2 2

＝4x2，②所以y1－2y2－1＝－2，

214y－14

y212－1所以y1＋2＝－(y2＋2)． 所以y1＋y2＝－4.

由 ①－②得，y2

2

1－y2＝4(x1－x2)， 所以ky1－y2AB＝x－x＝4

＝－1. 12y1＋y2

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