微专题十八 数列的综合运用
一、 填空题
1. 已知数列{an}的通项公式是an＝n2－8n＋5，这个数列的最小项是_____．
a8＋a912. 已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，2a2成等差数列，则2a3，a6＋a7＝________.
3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0，则公差d的取值范围为________．
1?????2－λ?n＋1?n＜6?，
?4. 已知数列{an}满足an＝??－??λn5?n≥6?，＞an＋1，则实数λ的取值范围是________．
若对于任意的n∈N*都有an
5. 设函数f(x)定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn＋1＝f(xn)，若x0＝6，则x2 019的值为________.
x f(x)
6. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺．以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第________天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3≈0.477 1，lg2≈0.301 0)．
π2πnπ
7. 若Sn＝sin7＋sin7＋…＋sin7(n∈N*)，则在S1，S2，…，S2 019中，正数
1 5 2 1 3 3 4 2 5 6 6 4 … …
的个数是________．
11
8. 已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有a＋a
1
2
1
＋…＋a＜t，则实数t的取值范围为________．
n
11
9. 若数列{an}满足－a＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数
an＋1n
?1?
列”，已知正项数列?b?为“调和数列”，且
?n?
018的最大值是________．
b1＋b2＋…＋b2 019＝20 190，则b2b2
10. 设Sn是等比数列{an}的前n项和，an>0，若S6－2S3＝5，则S9－S6的最小值为________．
二、 解答题
n＋1n＋1
11. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝nan＋2n. an
(1) 设bn＝n，求数列{bn}的通项公式； (2) 求数列{an}的前n项和Sn.
12. 已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．若a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，an＋1a2都有a＜a.
n1
13. 已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足a1an＋1
＝1，Sn＋1＝aSn＋(λ·3n＋1)an＋1(n∈N*)．
n
(1) 若λ＝0，求数列{an}的通项公式；
1
(2) 若an＋1<2an对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
14. 已知数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列{an}前n项和为Sn，且满足S3＝a4，a5＝a2＋a3.
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 若amam＋1＝am＋2，求正整数m的值；
(3) 是否存在正整数m，使得
S2m
恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出S2m－1
所有满足条件的m值；若不存在，请说明理由．
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