2019年北京市昌平区高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
2
1. 已知集合U={x∈Z|x＜9}，集合A={-2，2}，则?UA=（ ）
A. 0， B. C. D.
2. 已知复数z=-1+a（1+i）（i为虚数单位，a为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数z的虚
部可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
α
9. 已知幂函数f（x）=x（α是实数）的图象经过点 ， ，则f（4）的值为______．
10. 为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育
设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是______．
2222
11. 能说明“设a，b为实数，若a+b≠0，则直线ax+by-1=0与圆x+y=1相切”为假命题的一组a，b的
值依次为______．
12. 等差数列{an}满足a2+a5+a9=a6+8，则a5=______；若a1=16，则n=______时，{an}的前n项和取得最大
值．
13. 已知双曲线 ：
3. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的a的值是（ ）
，若抛物线 ： ＞ 的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为1，
则抛物线C2的方程为______．
14. 已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，φ＜0）的最小正周期为π，且 对任意的实数x都成立，则ω的值为______；φ的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 在等差数列{an}中，a2=8，且a3+a5=4a2．
（Ⅰ）求等差数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设各项均为正数的等比数列{bn}满足b4=a1，b6=a4，求数列{bn-an}的前n项和Sn． 16. 在△ABC中，AC=4， ，
A.
A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件
B.
C. 1 D. 2
4. 已知实数x∈R，则“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（ ）
B. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
．
， ，则 =（ ） 5. 在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ， ，
A. B. 2 C. 3 D. 4
，2x+y的最小值为1，则实数m的值为（ ） 6. 若x，y满足 ，且
，A. B. C. 1 D. 5
7. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ） A. B. C. D. 3
8. 一次数学竞赛，共有6道选择题，规定每道题答对得5分，不答得1
分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为（ ）
A. 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数 B. 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数 C. 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关 D. 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关
（Ⅰ）求∠ABC的大小；
（Ⅱ）若D为BC边上一点， ，求DC的长度．
17. 某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试．现从两个年级学
生中各随机选取20人，将他们的测试数据，用茎叶图表示如图：
《国家学生体质健康标准》的等级标准如表．规定：测试数据≥60，体质健康为合格．
等级 测试数据 优秀 [90，100] 良好 [80，89] 及格 [60，79] 不及格 [0，59] （Ⅰ）从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率；
（Ⅱ）从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率；
第1页，共7页
，高二学生测试数据的平均数和方差分（Ⅲ）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为 ， 的大小．（只需写出结论） ，试估计别为 ， 与 与 、
AB=2，BC=1，E18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD， ，
为PB中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面ACE； （Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC； （Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积．
x2
20. 已知函数f（x）=[x+（a+1）x+1]e．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与x轴平行，求a的值； （Ⅱ）若f（x）在x=-1处取得极大值，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a=2时，若函数g（x）=mf（x）-1有3个零点，求m的取值范围．（只需写出结论）
19. 已知椭圆 ： ＞ ＞ 的离心率为 ，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原
点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
第2页，共7页
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
环计算变量a的值并输出，即可得解．
本题主要考查了循环结构，写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．
解：∵集合U={x∈Z|x＜9}={x∈Z|-3＜x＜3}={-2，-1，0，1，2}， 集合A={-2，2}， ∴?UA={-1，0，1}． 故选：A．
2
4.【答案】B
【解析】
解：“ln（x+1）＜0”?0＜x+1＜1?-1＜x＜0． ∴“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的必要不充分条件． 故选：B．
“ln（x+1）＜0”?0＜x+1＜1，解出即可判断出结论．
求出集合U，集合A，补集定义能求出?UA．
本题考查补集的求法，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】D 【解析】
解：∵复数z=-1+a（1+i）=-1+a+ai在复平面内对应的点位于第二象限， ∴故选：D．
化z为a+bi（a，b∈R）的形式，由实部小于0且虚部大于0求得a的范围，则答案可求． 本题考查了复数的基本概念，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 3.【答案】D
【解析】
本题考查了对数函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.【答案】C
【解析】
解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
，即0＜a＜1．
则故选：C．
=
=（4，-1），
=
=（0，-3），
，
=4×0+（-1）（-3）=3．
利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可． 本题考查平面向量的数量积的运算，向量的加减运算的求法，考查计算能力． 6.【答案】B
【解析】
解：程序运行过程中，各变量的值如下表示： 是否继续循环 a i 循环前 2 1 第一圈 是 2 第二圈 是-1 3
第三圈 是 2 4 …
第9圈 是 2 10 第10圈 否 故最后输出的a值为2．
解：画出满足条件的平面区域，如图所示：， 由
，解得：A（2m+3，m），
由z=2x+y得：y=-2x+z，
显然直线过A（2m+3，m）时，z最小， ∴4m+6+m=1，解得：m=-1， 故选：B．
画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，由z=2x+y得：y=-2x+z，显然直线过A（1，2-m）时，z最小，代入求出m的值即可．
故选：D．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循
第3页，共7页
7.【答案】D
【解析】
故答案为：2．
由幂函数f（x）=x的图象过点
α
解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，
底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1， PA⊥底面ABCD，且PA=2， ∴该四棱锥最长棱的棱长为PC=故选：D．
由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．
本题考查几何体三视图的应用，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力． 8.【答案】C
【解析】
求出α的值，写出f（x）的解析式，再求f（4）的值．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题． 10.【答案】300
【解析】
==3，
解：这次抽样调查抽取的总人数是故答案为：300．
根据分层抽样是按比例抽样列式可得． 本题考查了分层抽样，属基础题． 11.【答案】1，1（答案不唯一）
【解析】
=300．
5=30， 解：每个人得的总分是6×
在满分的基础上，若1题不答，则总分少4分，若1题答错，则总分少6分， 即在满分的基础上若m题不答，则总分少4m分，若n题答错，则总分少6n分， 则每个人的得分一定是偶数，
则小组的总得分也是偶函数，与小组人数无关， 故选：C．
先计算一个人得总分是偶数，若m题不答，则总分少4m分，为偶数，若n题答错，则总分少6n分为偶数，根据偶数的运算性质进行判断即可．
本题主要考查合情推理的应用，计算出总分为偶数，答错或不答时少的分数也是偶数是解决本题的关键． 9.【答案】2
【解析】
2222
解：设a，b为实数，若a+b≠0，则直线ax+by-1=0与圆x+y=1相切，
若为真命题，可得
=1，即为a2+b2=1，
22
若为假命题，只要a+b≠1，
2222
要说明“设a，b为实数，若a+b≠0，则直线ax+by-1=0与圆x+y=1相切”
为假命题的一组a，b的值依次可为1，1． 故答案为：1，1．
2222
由直线和圆相切的条件：d=r，求得a+b=1，若为假命题，只要a+b≠1，取值a=1，b=1，即可．
本题考查命题的真假判断，以及直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于基础题． 12.【答案】4 6
【解析】
解：等差数列{an}满足a2+a5+a9=a6+8， 所以3a1+13d=a1+5d+8，即a5=4，
α
解：幂函数f（x）=x的图象过点
α
所以f（2）=2=
，
a1=16，所以4d=a5-a1=4-16， 所以d=-3． 令
，解得n=6，
，解得α=，
所以f（x）=则f（4）=
， =2．
所以{an}的前6项和取得最大值． 故填：4，6．
第4页，共7页
将a2+a5+a9=a6+8，中的项用a1和d表示，即可得到a5，=4，又因为a1=16，可以计算数列{an}的正项，即可得到{an}的前n项和取得最大值时的n．
本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和的最值问题，属于中档题． 13.【答案】x2=8y
【解析】
15.【答案】（共13分）
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由已知 ，
an=4n（n∈N*）．…．（5分） 解得 ，所以
， ， 或 （Ⅱ）设数列{bn}的公比为q，由已知 ，解得（舍），
n-2
所以bn= ，所以bn-an=2-4n．
解：双曲线，的渐近线：x±y=0，抛物线的焦点坐标为：（0，），
2
抛物线C2：x=2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，
Sn=（2-1-4）+（20-8）+（21-12）+…+（2n-2-4n） =（2-1+20+21+…+2n-2）-（4+8+12+…+4n） =
可得：=1，解得p=4，
2
= ∈ ．…．（13分）
抛物线C2：x=8y．
2
故答案为：x=8y．
【解析】
（Ⅰ）利用等差数列{an}的通项公式结合已知条件求出首项与公差然后求解通项公式； （Ⅱ）设各项均为正数的等比数列{bn}满足b4=a1，b6=a4，求出公比与首项，利用吃饭求数列{bn-an}的前n项和Sn．
本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力．
=π，
16.【答案】（共13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得 ，
求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力． 14.【答案】2
【解析】
解：∵函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，φ＜0）的最小正周期为∴ω=2． ∵
对任意的实数x都成立，
+φ） 恒成立，
所以 因为
．
∴cos（ωx+φ）≥cos（故cos（故
+φ）=-1，
，所以 ∈ ， ，所以 ．…．（6分）
（Ⅱ）在△ABC中，
．
+φ=2kπ+π，k∈Z，
，
222
在△ADC中，由余弦定理AD=AC+DC-2AC?DCcos∠C，
∴φ=+2kπ，故φ的最大值为-故答案为：2；-．
得 ，即 ，
解得 ，或 ．经检验，都符合题意．…．（13分） 【解析】
=π，可得ω的值；再根据题意，cos（
+φ）=-1，结合
（Ⅰ）利用正弦定理，转化求解∠ABC的大小； （Ⅱ）通过余弦定理，结合
，即可求DC的长度．
由题意可得余弦函数的最小正周期为为φ＜0求得φ的最大值．
本题主要考查余弦函数的周期性和最小值，函数的恒成立问题，属于基础题． 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力． 17.【答案】（共13分）
解：（I）高二年级学生样本中合格的学生数为：3+4+4+4=15，
第5页，共7页
相关推荐：
loading