相似问题(8) - 图文

相似问题（8）

1.如图，BD是⊙O的直径，A、C是⊙O上的两点，且AB＝AC，AD与BC的延长线交于点E．（1）求证：△ABD∽△AEB；（2）若AD＝1，DE＝3，求BD的长

2.如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，（1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由

3.如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA=PB+PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度

4.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与点A．B重合），连AP．BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．（1）填空：∠APC= 度，∠BPC= 度；（2）求证：△ACM≌△BCP；（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积

5.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C．延长AB交CD于点E．连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长

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6.如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O 的弦。过点B作BC//AD，交圆O于点C，连接AC，过点C作CD//AB，交AD于点D。连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且?BCP=?ACD.(1) 判断直线PC与圆O的位置关系，并说明理由：(2) 若AB=9，BC=6，求PC的长

7.如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D．（1）如果BE=15，CE=9，求EF的长；（2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE

8.在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧⌒AD上取一点E使∠EBC = ∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H.(1)求证：AC⊥BH (2)若∠ABC= 45°，⊙O的直径等于10，BD =8，求CE的长

9.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线；（2）求证：FD=FG．（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积

10.如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CF⊥AB于E，C是弧AD中点，连接BD、AD，交CE、BC于点P、Q．（1）求证：P是AQ的中点；（2）若tan∠ABC=3／4，CF=8，求CQ的长

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相似问题（8）答案

1.解：（1）证明：∵AB＝AC，∴弧AB＝弧AC．∴∠ABC＝∠ADB．又∠BAE＝∠DAB，∴△ABD∽△AEB．（2）

2

解：∵△ABD∽△AEB，∴AB／AE=AD／AB．∵AD＝1，DE＝3，∴AE＝4．∴AB＝AD?AE＝1×4＝4．∴AB＝2．∵BD是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°．在Rt△ABD中，BD＝AB＋AD＝2＋1＝5，∴BD＝5 2. （1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C（等边对等角），∵∠C=∠D（同弧所对的圆周角相等），∴∠ABC=∠D（等量代换），又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB，（2）解：∵△ABE∽△ADB， 22222∴AB／AD=AE／AB，∴AB=AD?AE=（AE+ED）?AE=（2+4）×2=12，∴AB=23（3）解：直线FA2与⊙O相切，理由如下： 连接OA，∵BD为⊙O的直径，∴BD＝AB+AD,BD=43,BF=BO=0.5BD222＝23，∵AB=23，∴BF=BO=AB，∴∠OAF=90°∴OA⊥AF，∴FA与⊙O相切．∴∠BAD=90° 3.（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，（2）证明：连结CD．在PA上截取PD=PC， ∵AB=AC=BC，∴∠APB=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，AC＝BC, ∠ACD＝∠BCP, CP＝CD，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；（3）解：∵△PCD和△ABC都为等边三角形，∴∠MDC=∠ACM=60°，CD=PC，又∵∠DMC=∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB=4，PC=2，∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=PC：AC=2：4=1：2，设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x∵∠BMP=∠CMA，∠PBM=∠CAM，∴△BPM∽△ACM，∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解得，x=?1?13（舍

3去负号），则x=?1?13，∴CM= ?2?213

334.（1）解：∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）证明：∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，∵∠BPC=∠BAC=60°，∴∠PCM=∠BPC=60°，∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，∴∠M=∠BPC=60°，又∵A、P、B、C四点共圆，∴∠PAC+∠PBC=180°，∵∠MAC+∠PAC=180°∴∠MAC=∠PBC∵AC=BC，∴△ACM≌△BCP；（3）解：作PH⊥CM于H，∵△ACM≌△BCP，∴CM=CP AM=BP，又∠M=60°，∴△PCM为等边三角形，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，∴PH=1.53，∴S梯形PBCM=0.5（PB+CM）×PH=0.5(2+3)×1.53=3.753 5.解：（1）证明：连接OC．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°．∴∠OCA+∠ACD=90°．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．∵∠DAC=∠ACD，∴∠0AC+∠CAD=90°．∴∠OAD=90°．∴AD是⊙O的切线．（2）解：222连接BG；∵OC=6cm，EC=8cm，∴在Rt△CEO中，OE=OC+EC，OE=10．∴AE=OE+OA=16．∵AF⊥ED，∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E．∴Rt△AEF∽Rt△OEC．∴AF／OC=AE／OE．即：AF／6=16／1O．∴AF=9.6．∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB=90°．∴∠AGB=∠AFE．∵∠BAG=∠EAF，∴Rt△ABG∽Rt△AEF．∴AG／AF=AB／AE．即：AG／9.6=12／16．∴AG=7.2．∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4（cm） 6.解法一：(1) 直线PC与圆O相切。 如图?，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。∵AB//CD，∴?BAC=?ACD。∵?BAC=?BNC，∴?BNC=?ACD。∵?BCP=?ACD，∴?BNC=?BCP。∵CN是圆O的直径，∴?CBN=90?。∴?BNC??BCN=90?，∴?BCP??BCN=90?∴?PCO=90?，即PC?OC。又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。(2) ∵AD是圆O的切线，∴AD?OA，即?OAD=90?。∵BC//AD，∴?OMC=180???OAD=90?，

2 2 即OM?BC。∴MC=MB。∴AB=AC。在Rt△AMC中，?AMC=90?，AC=AB=9，MC=0.5BC=3，由勾股定理，得AM=AC?MC

22 =9?3=62。设圆O的半径为r。在Rt△OMC中，?OMC=90?，OM=AM?AO=62?r，MC=3，OC=r 由勾股定

2 2 2 222 27 理，得OM?MC=OC，即(62?r)?3=r。解得r=2。 在△OMC和△OCP中， ∵?OMC=?OCP，

8 OM CM 3 27

?MOC=?COP，∴△OMC～△OCP。∴=，即=。 ∴PC=解法二：(1) 直

OC PC PC 7

线PC与圆O相切。如?，连接OC。∵AD是圆O的切线，∴AD?OA，即?OAD=90?∵BC//AD，∴?OMC=180???OAD=90?，即OM?BC。∴MC=MB。∴AB=AC。∴?MAB=?MAC。 ∴?BAC=2?MAC。又∵?MOC=2?MAC，∴?MOC=?BAC。∵AB//CD，∴?BAC=?ACD。∴?MOC=?ACD。又∵?BCP=?ACD，∴?MOC=?BCP。

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∵?MOC??OCM=90?，∴?BCP??OCM=90∴?PCO=90?，即PC?OC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。

1 2 2 22

(2) 在Rt△AMC中，?AMC=90?，AC=AB=9，MC=BC=3，由勾股定理，得AM=AC?MC=9?3=62。

2 设圆O的半径为r。 在Rt△OMC中，?OMC=90?，OM=AM?AO=62?r，MC=3，OC=r，由勾股定理，得OM?MC2 2 222 27 =OC，即(62?r)?3=r。解得r=2。在△OMC和△OCP中，∵?OMC=?OCP，?MOC=?COP，∴△OMC～

8 OM CM

△OCP，∴=，即 OC PC

2

=

3 27

.∴PC= PC 7

7.（1）解：∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．∴∠BCE=90°，又∵BC为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°，∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC，∴CE／BE=EF／CE， ∵BE=15，CE=9，即：9／15=EF／9，解得：EF=27／5；（2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD，同理：∠AFB=∠CFD，∴△CDF∽△BAF；②∵△CDF∽△BAF，∴CF／BF=CD／BA，又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°，∴△CEF∽△BCF，∴CF／BF=CE／BC，∴CD／BA= CE／BC，又∵AB=BC，∴CE=CD； 8.证明：（1）连结AD ∵∠DAC = ∠DEC ∠EBC = ∠DEC∴∠DAC = ∠EBC 又∵AC是⊙O的直径 ∴∠ADC=90° ∴∠DCA+∠DAC=90° ∴∠EBC+∠DCA = 90°∴∠BGC=180°–（∠EBC+∠DCA) = 180°–90°=90°∴AC⊥BH （2）∵∠BDA=180°–∠ADC = 90° ∠ABC = 45° ∴∠BAD = 45° ∴BD = AD∵BD = 8 ∴AD =8 又

2222

∵∠ADC = 90° AC =10 ∴由勾股定理 DC=AC–AD= 10–8 = 6∴BC=BD+DC=8+6=14 又∵∠BGC =

CGBCCG1442

∠ADC = 90° ∠BCG =∠ACD∴△BCG∽△ACD ∴ = ∴ = ∴CG = 连结AE ∵AC

DCAC6105

CECG42

是直径 ∴∠AEC=90° 又因 EG⊥AC∴ △CEG∽△CAE ∴ = ∴CE2=AC · CG = ? 10 =

ACCE5 84∴CE = 84= 2 21 9. 解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵∠MAC=∠ABC，∴∠CAB+∠MAC=90°，即∠MAB=90°，∴MN是半圆的切线．（2）证明：∵DE⊥AB，∴∠EDB+∠ABD=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CBG+∠BGC=90°∵D是弧AC的中点，∴∠CBD=∠ABD，∴∠EDB=∠BGC，∵∠DGF=∠BGC，∴∠EDB=∠DGF，∴DF=FG．（3）∵DF=FG，∴∠DGF=∠FDG，∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠ADF，∴AF=DF=GF，∴S△ADG=2S△DGF=9，2∵△BCG∽△ADG，∴S△BCG／S△ADG =(CG／DG)，∵△ADG的面积为9，且DG=3，GC=4，∴S△BCG=16．答：△BCG的面积是16 10.（1）证明∵C是弧AD的中点，∴弧AC=弧CD， ∴∠CAD=∠ABC∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠CAD+∠AQC=90°，∵CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90°，∴∠AQC=∠PCQ∴在△PCQ中，PC=PQ，∵CE⊥AB，∴弧AC=弧AF∴弧AF=弧CD∴∠CAD=∠ACE．∴在△APC中，PA=PC，∴PA=PC=PQ∴P是AQ的中点．（2）解：∵CE⊥AB于E，∴在Rt△BCE中，由tan∠ABC=CE222／BE＝3／4，∵CF=8，∴CE=4，得BE=4 CE／3=16／3，∴由勾股定理，得BC= CE+BE，BC=20／3，∵AB是⊙O的直径，∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC=AC／BC=3／4，BC=20／3，得AC=4 BC22／3=5∵AB为直径，∠CBA=∠CAQ，∴Rt△ACB∽Rt△QCA，∴AC=CQ?BC∴CQ= AC／BC=15／4

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