近世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（C ）是子群。
33???? e,ae,a,a????aa,eA、 B、 C、 D、
2、下面的代数系统（G，*）中，（ ）不是群
A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|
??4、设?1、?2、3是三个置换，其中?1=（12）（23）（13），?2=（24）（14），3=（1324），则A、?21?3=（ ）
22 B、?1?2 C、? D、?2?1
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子的--交换环---称为整环。
4aaG3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于--25----。
4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-模n乘余类加群------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=--{2}---。
6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----一一映射-------------。
a,a,?,an?叫做域F的一个代数元，7、如果存在F的--不都等于零的元---01使
得
a0?a1????an?n?0。
8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何x?A均成立x?a?x，则称a为-右单位元-------。
9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、---消去律成立------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是--交换环--------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。
解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
2、设E是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是E中的运算，（E，?）是一个代数系统，问（E，?）是不是群，为什么？
答：（E，?）不是群，因为（E，?）中无单位元。 3、a=493, b=391, 求(a,b), [a,b] 和p, q。 解 ：方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若
证明 ：设e是群
2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当m︱a–b。
证明：容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
近世代数模拟试题二
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。 A、2阶 B、3 阶 C、4 阶 D、 6 阶
2、设G是群，G有（ ）个元素，则不能肯定G是交换群。 A、4个 B、5个 C、6个 D、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。 A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂 4、下列哪个偏序集构成有界格（ ）
A、（N,?） B、（Z,?） C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A),?)
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ ）
A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是---唯一-----的，每个元素的逆元素是----唯一----的。 2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f?1?f?a???--a--------。
3、区间[1，2]上的运算a?b?{mina,b}的单位元是--2-----。 4、可换群G中|a|=6,|x|=8,则|ax|=——24————————。 5、环Z8的零因子有 -----------------------。
6、一个子群H的右、左陪集的个数--相等--------。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的---商群------。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的---特征--------。
n9、设群G中元素a的阶为m，如果a?e，那么m与n存在整除关系为
---mn-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、用2种颜色的珠子做成有5颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？ 解： 在学群论前我们没有一般的方法，只能用枚举法。用笔在纸上画一下，用黑白两种珠子，分类进行计算：例如，全白只1种，四白一黑1种，三白二黑2种，…等等，可得总共8种。
2、S1，S2是A的子环，则S1∩S2也是子环。S1+S2也是子环吗？
证： 由上题子环的充分必要条件，要证对任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：
因为S1，S2是A的子环，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2 ， 因而a-b, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子环。 S1+S2不一定是子环。在矩阵环中很容易找到反例：
3、设有置换??(1345)(1245)，
??(234)(456)?S6。
?11．求??和??；
?12．确定置换??和??的奇偶性。 ?1????(1243)(56)解： 1．，??(16524)；
2．两个都是偶置换。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、一个除环R只有两个理想就是零理想和单位理想。
证明：假定?是R的一个理想而?不是零理想，那么a?0??，由理想的定义
a?1a?1??，因而R的任意元b?b?1??
这就是说?=R，证毕。
2、M为含幺半群，证明b=a-1的充分必要条件是aba=a和ab2a=e。
证： 必要性：将b代入即可得。 充分性：利用结合律作以下运算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以b=a-1。
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