圆锥曲线中的定值、定点问题
一、常见基本题型：
在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式，证明该式是恒定的。 （1）直线恒过定点问题
例1. 已知动点E在直线l:y??2上，过点E分别作曲线C:x2?4y的切线EA,EB， 切点为A、B, 求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；
2x12x2x21?y'?x 解：设E(a,?2),A(x1,),B(x2,)，?y?4442过点A的抛物线切线方程为x121y??x1(x?x1)，?切线过E点,42x121??2??x1(a?x1),整理得：x12?2ax1?8?0
422同理可得：x2?2ax2?8?0
?x1,x2是方程x2?2ax?8?0的两根?x1?x2?2a,x1?x2??8a2?4可得AB中点为(a,)，又kAB22x12x2?y1?y2x?xa??44?12? x1?x2x1?x242
aa2a ?直线AB的方程为y?(?2)?(x?a)，即y?x?2?AB过定点(0,2).
222xxx2?y2?1上任意一点，直线l的方程为0?y0y?1， 例2、已知点P(x0,y0)是椭圆E:22直线l0过P点与直线l垂直，点M（-1，0）关于直线l0的对称点为N，直线PN恒
过一定点G，求点G的坐标。
解：直线l0的方程为x0(y?y0)?2y0(x?x0)，即2y0x?x0y?x0y0?0 设M(?1,0)关于直线l0的对称点N的坐标为N(m,n)
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??2x3?n??x0?m?0?3x20?4x0?4 则??m?12y0，解得???x20?4??2x44x32 ?2y0?m?12?x0n2?x0yn?0?0?4x0?8x00?0??2y0(4?x20)? 直线PN的斜率为k?n?y40m?x?x0?4x30?2x20?8x0?83 02y0(?x0?3x20?4)x42 从而直线PN的方程为： y?y0?4x30?2x0?8x0?80?2y32(x?x0) 0(?x0?3x0?4) 即x?2y0(?x30?3x20?4)x4?4x32y?1
00?2x0?8x0?8 从而直线PN恒过定点G(1,0) （2）恒为定值问题
例3、已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为22，离心率为
22，P是椭圆在第一限弧上一点，且???PF??????1?PF2?1，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭
圆于A、B两点。 （1）求P点坐标；
（2）求证直线AB的斜率为定值；
解：（1）设椭圆方程为y2x2a2?b2?1，由题意可得
y2a?2,b?2,c?22x2 ，所以椭圆的方程为4?2?1
则F1(0,2),F2(0,?2)，设P(x0,y0)(x0?0,y0?0) 则???PF??y?????1?(?x0,20),PF2?(?x0,?2?y0),
????PF?1????PF??2?x20?(2?y20)?1 ?点P(xx22200,y0)在曲线上，则2?y04?1. ?x24?y00?2 从而4?y202?(2?y20)?1，得y0?2，则点P的坐标为(1,2)。 用心 爱心 专心 象- 2 -
（2）由（1）知PF1//x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，
设PB斜率为k(k?0)，则PB的直线方程为：y?2?k(x?1)
?y?2?k(x?1) 由??x2y2得(2?k2)x2?2k(2?k)x?(2?k)2?4?0
??2?4?1
设B(x2k(k?2)k2?22k?2B,yB),则xB?2?k2?1?2?k2 同理可得xk2?22k?2A?2?k2，则xA?xB?42k2?k2 yA?yB??k(x8kA?1)?k(xB?1)?2?k2 所以直线AB的斜率kyA?yBAB?x?2为定值。
A?xB 例4、已知动直线y?k(x?1)与椭圆C:x2y25?5?1相交于A、B两点,已知点 3 M(?73,0)， 求证：???MA?????MB?为定值.
解: 将y?k(x?1)代入
x25?y25?1中得(1?3k2)x2?6k2x?3k2?5?0 3 ???36k4?4(3k2?1)(3k2?5)?48k2?20?0，
x?x?6k23k2?512?3k2?1，x1x2?3k2?1 所以???MA?????MB??(x77771?3,y1)(x2?3,y2)?(x1?3)(x2?3)?y1y2
?(x771?3)(x2?3)?k2(x1?1)(x2?1)
?(1?k2)x(72491x2?3?k)(x1?x2)?9?k2 ?(1?k2)3k2?5?(7?k2)(?6k24923k2?133k2?1)?9?k ??3k4?16k2?54923k2?1?9?k?49。 用心 爱心 专心
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二、针对性练习
x2?y2?1.如图所示，斜率为k(k＞0)且不 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:3过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E， 射线OE交椭圆C于点G，交直线x??3于点D(?3,m). （Ⅰ）求m2?k2的最小值；
（Ⅱ）若OG?OD?OE，求证：直线l过定点； 解：（Ⅰ）由题意:设直线l:y?kx?n(n?0),
2?y?kx?n?222 由?x2消y得:(1?3k)x?6knx?3n?3?0, 2??y?1?3 ??36k2n2?4(1?3k2)×3(n2?1)?12(3k2?1?n2)?0 设A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点E(x0,y0),则由韦达定理得:
x?x2=
1?6kn?3knn?3knx?y?kx?n??k?n?,即,, 00022221?3k1?3k1?3k1?3k?3knn,), 所以中点E的坐标为(221?3k1?3k 因为O、E、D三点在同一直线上，
所以kOE?KOD，即?22 所以m?k=
1m1??， 解得m?，
k3k31222k?1?k?2m?k,当且仅当时取等号, 即的最小值为2. 2km （Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为y??x,
3m?y??x?m2?3 所以由?2得交点G的纵坐标为yG?, 2m?3?x?y2?1??3nm2n2OG?OD?m? 又因为yE?,,且?，所以, y?mOED2221?3km?31?3k 又由（Ⅰ）知: m?1,所以解得k?n,所以直线l的方程为l:y?kx?k, k 即有l:y?k(x?1), 令x??1得,y=0,与实数k无关,
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所以直线l过定点(-1,0).
2 2. 已知点N为曲线y?4x(x?0)上的一点， 若A(4,0)，是否存在垂直x轴的直线l 被
以AN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线l的方程；若不存在， 请
说明理由．
解：设AN的中点为B，垂直于x轴的直线方程为x?a， 以AN为直径的圆交l于C,D两点，CD的中点为H．
11x?4?a?1x?2 ?CB?2AN?2(x?4)2?y2，BH?
22a?4?CH2?CB2?BH2?1[(x?4)2?y2]?1(x?2a?4)2
44
?14[(4a?12)x?4a2?16a]?(a?3)x?a2?4a
所以，令a?3，则对任意满足条件的x，
都有CH2??9?12?3（与x无关）， 即CD?23为定值．
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