数列
【考纲解读】
1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题.
3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题.
【考点预测】
1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有.
2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点.
3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用.
4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意：
1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等.
2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d（或
q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化
运算.
3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和
q≠1两种情况等等.
4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳.
5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键.
6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果.
7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【要点梳理】
1.证明数列?an?是等差数列的两种基本方法：（1）定义法：an?1?an?d为常数；（2）等差中项法：2an?an?1?an?1(n?2).
2.证明数列?an?是等比数列的两种基本方法：（1）定义法：
2差中项法：an?an?1?an?1(n?2).
an?1?q(非零常数)；（2）等an3.常用性质:(1)等差数列?an?中,若m?n?p?q,则am?an?ap?aq; (2)等比数列?an?中,若m?n?p?q,则am?an?ap?aq. 4.求和:
(1)等差等比数列,用其前n项和求出;
(2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比数列前n项和的常用性质. 【考点在线】
考点1 等差等比数列的概念及性质
在等差、等比数列中，已知五个元素a1,an,n,d或q，Sn中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项a1和公差（或公比q）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如
（1）等差数列?an?中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；等比数列?an?中，若
m?n?p?q，则aman?apaq .
（2）等差数列?an?中，Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,LSkn?Sk?n?1?,L成等差数列。其中Sn是等差数列的前n项和；等比数列?an?中（q??1），Sn,S2n?Sn,S3n?S2n,LSkn?Sk?n?1?,L成等比数列。其中Sn是等比数列的前n项和；
（3）在等差数列?an?中，项数n成等差的项an也称等差数列. （4）在等差数列?an?中，S2n?1??2n?1?an；S2n?n?an?an?1? .
在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.
例1. (2020年高考重庆卷理科11)在等差数列?an?中，a3?a7?37，则a2?a4?a6?a8? . 【答案】74
【解析】a2?a8?a4?a6?a3?a7?37，故a2?a4?a6?a8?2?37?74 【名师点睛】本题考查等差数列的性质.
【备考提示】：熟练掌握等差等比数列的概念与性质是解答好本类题的关键.
考点2 数列的递推关系式的理解与应用
在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若an?an?1?n,且a1?1；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列?an?的通项.
an??an?an?1???an?1?an?2??L??a2?a1??a1?n??n?1??L?2?1?n?n?1?. 2再看“逐商法”即an?1?n?1且a1?1，可把各个商列出来求积。
anan?anan?1aggLg2ga1?n?n?1??n?2?L2g1?n! an?1an?2a1另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题. 例2.（2020年高考四川卷文科9)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则a6=( )
（A）3 ×4 （B）3 × 4+1 (C) 4 （D）4+1
4
4
4
4
【答案】A
【解析】由题意，得a2=3a1=3.当n ≥1时，an+1 =3Sn(n ≥1) ①，所以an+2 =3Sn+1 ②， ②-①得an+2 = 4an+1 ，故从第二项起数列等比数列，则a6=3 ×4.
?Sn?Sn?1 n?24
S1 n=1，【名师点睛】本小题主要考查an与Sn的关系：a??数列前n项和Sn和通项an?n是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式an?Sn?Sn?1时，一定要注意条件n?2，求通项时一定要验证a1是否适合。解决含an与Sn的式子问题时，通常转化为只含an或者转化为只
Sn的式子.
【备考提示】：递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点. 练习2.（2020年高考辽宁卷文科5)若等比数列{an}满足anan+1=16，则公比为（ ）[Z
（A）2 （B）4 （C）8 （D）16 【答案】B
n
【解析】设公比是q，根据题意a1a2=16 ①，a2a3=16②，②÷①，得q=16 .因为a1q=16>0, a1>0，则q>0，q=4.
考点3 数列的通项公式an与前n项和公式的应用
等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式
Sn?a1?1?qn?1?q?a1a?1qn1?q1?q2
2 22
（q?1），因此可以改写为
Sn?aqn?b (a?b?0)是关于n的指数函数，当q?1时，Sn?na1.
例3.(2020年高考江苏卷13)设1?a1?a2???a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是 . 【答案】33 23【解析】由题意：1?a1?a2?a1q?a2?1?a1q?a2?2?a1q，
?a2?q?a2?1,a2?1?q2?a2?2
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