2020高考数学二轮专题复习 数列

2(n?1)(n?5)()n?12na2(n?1)(n?5)3【解析】an?n(n?4)()则n?1? ?23an3n(n?4)n(n?4)()n322于是2(n?1)(n?5)?3n(n?4)??n?10令?n?10?0得?10?n?10，则

an?1?1， ann?4时递增，令?n2?10?0得n?10，则

即k?4.

an?1?1，n?4时递减，故n?4是最大项，an17. （2020年高考江西卷文科21) (本小题满分14分）

（1）已知两个等比数列?an?,?bn?，满足a1?a?a?0?,b1?a1?1,b2?a2?2,b3?a3?3， 若数列?an?唯一，求a的值；

（2）是否存在两个等比数列?an?,?bn?，使得b1?a1,b2?a2,b3?a3,b4?a4成公差不为0

? 的等差数列？若存在，求 ?an?,?bn? 的通项公式；若不存在，说明理由．

?【解析】（1）?an?要唯一，?当公比q1?0时，由b1?1?a?2,b2?2?a2,b3?3?a3且

2222b2?b1b3??2?aq1???1?a?3?aq1?aq1?4aq1?3a?1?0，

2?a?0，?aq1?4aq1?3a?1?0最少有一个根（有两个根时，保证仅有一个正根）

????4a??4a?3a?1??0?4a?a?1??0，此时满足条件的a有无数多个，不符合。

2?当公比q1?0时，等比数列?an?首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由

?2?aq1?2??1?a??3?aq12??aq12?4aq1?3a?1?0，可推得3a?1?0,a?1符合

3综上：a?1。 3,bn?,公比分别为q1，q2，则由等差数列的性质可得：（2）假设存在这样的等比数列?an???b2?a2???b3?a3???b1?a1???b4?a4?，整理得：?b1?b3??q2?1???a1?a3??q1?1?

要使该式成立，则q2?1=q1?1?0?q1?q2?1或b1?b3?a1?a3?0此时数列b2?a2，

b3?a3公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列?an?,?bn?.

18. （2020年高考福建卷文科17)（本小题满分12分）

已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3. （I）求数列{an}的通项公式；

（II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.

【解析】（I）设等差数列{an}的公差为d,则an?a1?(n?1)d,由a1?1，a3??3可得

1?2d??3，解得

d??2,从而an?1?(n?1)?(?2)?3?2n.

（II）由（I）可知an?3?2n,所以Sn?n[1?(3?2n)]?2n?n2,由Sk=-35，可得

22k?k2??35,

即k?2k?35?0,解得k?7或k??5,又k?N,故k?7. 19．（2020年高考湖南卷文科20)（本题满分13分）

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．

（I）求第n年初M的价值an的表达式； （II）设An?2?a1?a2?L?an,若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M

n更新，证明：须在第9年初对M更新．

【解析】（I）当n?6时，数列{an}是首项为120，公差为?10的等差数列．

333Sn?S6?(a7?a8?L?an)?570?70??4?[1?()n?6]?780?210?()n?6444 3n?6780?210?()4An?.n因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，又

33780?210?()8?6780?210?()9?6477944A8??82?80,A9??76?80,

864996所以须在第9年初对M更新．

20. （2020年高考四川卷文科20)（本小题共12分）

已知﹛an﹜是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和. （Ⅰ）当S1,S3,S4成等差数列时，求q的值；

(Ⅱ)当Sm，Sn，Si成等差数列时，求证：对任意自然数k,am?k,an?k,ai?k也成等差数列. 【解析】（Ⅰ）当q?1时，S1?a,S3?3a,S4?4a，因为S1,S3,S4成等差数列，所以

2?3a?a?4a，解得a?0，因为a?0，故q?1；

a(1?q3)a(1?q4),S4?当q?1时，S1?a,S3?，由S1,S3,S4成等差数列得

1?q1?q2a(1?q3)a(1?q4)1?5322?a?，得q?2q?1?0，即?q?1?q?q?1?0，?q?. 1?q1?q2??

21．（2020年高考天津卷文科22）（本小题满分14分）

在数列?an?中，a1=0，且对任意k?N，a2k?1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k.

*（Ⅰ）证明a4,a5,a6成等比数列；（Ⅱ）求数列?an?的通项公式；

32232n2（Ⅲ）记Tn?. 2n?2）??ggg?，证明?2n?Tn?（2a2a3an【解析】（I）证明：由题设可知，a2?a1?2?2，a3?a2?2?4，a4?a3?4?8，

a5?a4?4?12，a6?a5?6?18.从而

a6a53??，所以a4，a5，a6成等比数列. a5a42（II）解：由题设可得a2k?1?a2k?1?4k,k?N*

所以a2k?1?a1??a2k?1?a2k?1???a2k?1?a2k?3??...?a3?a1? ?4k?4?k?1??...?4?1 ?2k?k?1?,k?N*.

2由a1?0，得a2k?1?2k?k?1? ，从而a2k?a2k?1?2k?2k.

?n2?1n,n为奇数2??1n???1?2所以数列?an?的通项公式为an??或写为an?，n?N*。 ?224?n,n为偶数??2