2020高考数学二轮专题复习 数列

2（III）证明：由（II）可知a2k?1?2k?k?1?，a2k?2k，

以下分两种情况进行讨论：

（1） 当n为偶数时，设n=2m?m?N*?

k2若m?1，则2n???2，

ak?2kn若m?2，则

mm2k?m?1?2k?1??k24k2m?14k2?4k?1??????2?? ?a2k?1k?2akk?1a2kk?1k?12kk?12k?k?1?nm?1?4k2?4k?1?1?11?? ?2m??????2m???2?????

2k?k?1??2?kk?1??k?1?2k?k?1?k?1?m?122 ?2m?2?m?1??n1?1?311??2n??. ??2?m?2nnk2313k2所以2n????，从而?2n???2,n?4,6,8,....

a2n2k?2kk?2ak（2） 当n为奇数时，设n?2m?1?m?N*?。

?2m?1? k22mk2?2m?1?31???4m?????a2m?122m2m?m?1?k?2akk?2akn22?4m?n1131??2n?? 22?m?1?2n?1nk2313k2所以2n??，从而?2n?????2,n?3,5,7,....

2n?12k?2akk?2ak综合（1）和（2）可知，对任意n?2,n?N*,有

3?2n?Tn?2. 222．(2020年高考北京卷文科16)（本小题共13分）

已知|an|为等差数列，且a3??6，a6?0。 （Ⅰ）求|an|的通项公式；

（Ⅱ）若等差数列|bn|满足b1??8，b2?a1?a2?a3，求|bn|的前n项和公式 【解析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。

23．(2020年高考江西卷文科22)（本小题满分14分） 正实数数列?an?中，a1?1，a2?5，且an2成等差数列． （1）证明数列?an?中有无穷多项为无理数；

（2）当n为何值时，an为整数，并求出使an＜200的所有整数项的和．

2【解析】证明：（1）由已知有：an?1?24(n?1)，从而an?1?24(n?1)，

?? 方法一：取n?1?242k?1，则an?1?24(k?N)．

2k* 用反证法证明这些an都是无理数．

k 假设an?1?242k为有理数，则an必为正整数，且an?24， kkkk故an?24?1．an?24?1，与(an?24)(an?24)?1矛盾，

所以an?1?24(k?N)都是无理数，即数列?an?中有无穷多项为无

2k*理数；

2方法二：因为an?1?1?24n(n?N)，当n得末位数字是3,4,8,9时，

它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，1?24n的末位数字是3和7，

故此时an?1?1?24n不是有理数，因这种n有无穷多，故这种无理项

an?1也有无穷多．

（2）要使an为整数，由(an?1)(an?1)?24(n?1)可知：an?1,an?1同为

偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有an?1?6m或an?1?6m当

2?36m2?12m?1?1?12m(3m?1)(m?N)又an?6m?1时，有anm(3m?1)必为偶数，所以an?6m?1(m?N)满足

2an?1?24(n?1)即n?m(3m?1)?1(m?N)时，an为整数；同理2an?6m?1(m?N*)有

2an?36m2?12m?1?1?12m(3m?1)(m?N*)也满足 2an?1?24(n?1)即n?m(3m?1)?1(m?N*)时，an为整数；显然2an?6m?1(m?N*)和an?6m?1(m?N)是数列中的不同项；所以当

n?m(3m?1)m(3m?1)?1(m?N)和n??1(m?N*)时，an为整22数；由an?6m?1?200(m?N)有0?m?33，

*由an?6m?1?200(m?N)有1?m?33．

设an中满足an?200的所有整数项的和为S，则

S?(5?11?????197)?(1?7?13?????199)

?5?1971?199?33??34?6733． 2224. (2020年高考浙江卷文科19)（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0. （Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围. 【解析】(Ⅰ)解：由题意知S6=

-15=-3, S5?5a1?10d?5,A6=S6-S5=-8所以?解得a1=7,所以S6= -3,a1=7

a?5d??8.?1(Ⅱ)解：因为S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a1+9da1+10d+1=0.

2

2

【解析】通过8a2?a5?0，设公比为q，将该式转化为8a2?a2q?0，解得q=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式

22．(2020年高考安徽卷文科5)设数列{an}的前n项和Sn?n，则a8的值为( )

3（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64 【答案】A

【解析】a8?S8?S7?64?49?15.

3．（2020年高考山东卷文科7）设?an?是首项大于零的等比数列，则“a1?a2”是“数列?an?是递增数列”的( )

（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】若已知a11,又a1>0，所以数列?an?是递增数列；反之，若数列?an?是递增数列，则公比q>1且a1>0，所以a1

4．(2020年高考江西卷文科7)等比数列?an?中，a1?1，a5??8a2，a5＞a2，则an? A．(?2)

n?1 B．?(?2)n?1 C．(?2) D．?(?2)

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