2014年全国高中数学联赛试题及答案

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k?2v??v?1?2v?1??v?2?2v?2?这里，?i?0或者1，i?v?1,v?2,于是 f(r)??k?，

．

??1??1??1??? ??k????k???k12??2??2?1k??k2?k 221v?1vv?12v ??2?(?v?1?1)?2?(?v?1??v?2)?2??2?

21 ?k??， ①

2 ?这里

k??2v?1?(?v?1?1)?2v?(?v?1??v?2)?2v?1?显然k?中所含的2的幂次为v?1．故由归纳假设知，r??k??由①知，f(v?1)?22v?.

1经过f的v次迭代得到整数，2(r)是一个整数，这就完成了归纳证明．

3. 由0?ak?1知，对1?k?n?1，有0??ai?1ki?k,0?i?k?1?ani?n?k．

注意到当x,y?0时，有x?y?max?x,y?，于是对1?k?n?1，有

1n?11?kAn?Ak?????ai??ai

ni?k?1?nk?i?11n?11?k ?ai?????ai ?ni?k?1?kn?i?1?1n ?max??ai,?ni?k?1?1?max?(n?k),?n?1?nn?11?k?????ai? ?kn?i?1??11?????k? ?kn??k， nk故

?a??Akk?1k?1?nAn??Ak

k?1n 11

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???Ak?1n?1n?1n?Ak???An?Ak

k?1n?1 ??k?n?1． ??1???n?2k?1?4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a，如果颜色不同，则标上b，如果数字和颜色都相同，则标上c．于是对于给定的点A1上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点A2,A3,,An上的设置．为了使得最终回到A1时

的设置与初始时相同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数

等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍．

设标有a的边有2i条，0?i???，标有b的边有2j条，0?j??22i2j?n????n?2i?．选取2i条边标?2??记a的有Cn种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有Cn?2i种方法，其余的边标记c．由乘

2i2j法原理，此时共有CnCn?2i种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为

4?i?0?n??2????n?2i????2????2i2j?CC?n?n?2i?． ①

j?0????0这里我们约定C0?1．

当n为奇数时，n?2i?0，此时

?n?2i??2???j?0?C2jn?2i?2n?2i?1． ②

代入①式中，得

4?i?0?n??2???n?2i??n??n?????2??2??2??????2i??2j?2in?2i?1??2??Cn2i2n?2i? ?Cn?Cn?2i??4??Cn2j?0i?0i?0????n??C2knk?0nn?kkn?k??Cn2(?1)k?(2?1)n?(2?1)n k?0?3n?1．

当n为偶数时，若i?nn，则②式仍然成立；若i?，则正n边形的所有边都标记a，此时22只有一种标记方法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为

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?n??2???i?0n?2i?n????????2??2??1??????2i2j?2in?2i?1?4?1?CCC???? ?n2??n?n?2i?i?0j?0????????4?2in?2i?1?2?4??Cn2??3n?3．

i?0n?n??2??? 综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有3?1种；当n为偶数时有3n?3种．

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