f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝( )． A．2 17C.4
15B.4 D．a2
(2)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析 (1)∵g(x)为偶函数，f(x)为奇函数， ∴g(2)＝g(－2)＝a，f(－2)＝－f(2)， ∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①
f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，② 联立①②解得g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2 15＝22－2－2＝4.
(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数， 所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1. 所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1， 所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 答案 (1)B (2)A
考点二 函数的单调性与奇偶性
【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )． 1
A．f(x)＝x B．f(x)＝－x C．f(x)＝2x－2x D．f(x)＝－tan x
－
(2)(2013·辽宁五校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为?1?增函数，且f?3?＝0，则不等式f(log1x)＞0的解集为( )．
??8?1?
A.?2，2? B．(2，＋∞) ??
1???1?
C.?0，2?∪(2，＋∞) D.?2，1?∪(2，＋∞) ????
1
解析 (1)f(x)＝x在定义域上是奇函数，但不单调；
f(x)＝－x为非奇非偶函数；f(x)＝－tan x在定义域上是奇函数，但不单调． ?1?(2)由已知f(x)在R上为偶函数，且f?3?＝0，
??
1?1?1
??∴f(logx)＞0等价于f(|logx|)＞f3，又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴|logx|＞3，??888
1
1
111
即log1x＞3或log1x＜－3，解得0＜x＜2或x＞2，故选C.
8
8
答案 (1)C (2)C
规律方法 对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
【训练2】 (2014·北京101中学模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ex＋a，若f(x)在R上是单调函数，则实数a的最小值是( )． A．－2 B．－1 C．1 D．2
解析 因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.又f(x)＝ex＋a在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在R上是增函数，则e0＋a＝1＋a≥0，解得a≥－1，所以a的最小值是－1，故选B. 答案 B
考点三 函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用
【例3】 (经典题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )． A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
令x＝x－4审题路线 f(x－4)＝－f(x)――――→f(x－8)＝f(x)→结合f(x)奇偶性、周期性把－25,11,80化到区间[－2,2]上→利用[－2,2]上的单调性可得出结论． 解析 ∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，
∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)
＝f(0)，f(11)＝f(3)．
由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．
∵f(x)在区间[0,2]上是增函数， f(x)在R上是奇函数，
∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，
∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)． 答案 D
学生用书第17页 规律方法 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
【训练3】 (2014·黄冈中学适应性考试)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，下列关于f(x)的判断： ①f(x)是周期函数；
②f(x)的图象关于直线x＝2对称； ③f(x)在[0,1]上是增函数； ④f(x)在[1,2]上是减函数； ⑤f(4)＝f(0)．
其中判断正确的序号是________．
解析 f(x＋1)＝－f(x)?f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数．又f(x)＝f(－x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．同理，f(x＋4)＝f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．由f(x)在[－1,0]上是增函数，得f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．因此可得①②⑤正确． 答案 ①②⑤
1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，
有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)±f(x)＝0?
f?－x?
＝±1(f(x)≠0)． f?x?
3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
方法优化1——根据函数的奇偶性求参数值
【典例】 (2011·辽宁卷)若函数f(x)＝123
A.2 B.3 C.4 D．1
[一般解法] 由题意知f(－x)＝－f(x)恒成立， －xx
即＝－，
1???1?2?－x＋2??－x－a?2?x＋2??x－a?????1?1??1?即?x－2?(x＋a)＝?x＋2?(x－a)恒成立，所以a＝2. ????[优美解法] (特值法)
由已知f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)， －1－1即＝， ?－2＋1??－1－a??2＋1??1－a?1
所以a＋1＝3(1－a)，解得a＝2. [答案] A
[反思感悟] 已知函数的奇偶性求参数值一般思路是：利用函数的奇偶性的定义转化为f(－x)＝±f(x)，从而建立方程，使问题获得解决，但是在解决选择题、填空题时还显得较麻烦，为了使解题更快，可采用特值法． 【自主体验】
1．(2014·永康适应性考试)若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－1)x＋1为偶函数，则实数a的值为( )．
x
为奇函数，则a＝( )．
?2x＋1??x－a?
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