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2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第8讲n次独立重复试验与二项分布理解析版

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第8讲 n次独立重复试验与二项分布

[考纲解读] 1.了解条件概率与两个事件相互独立的概念.(重点) 2.能够利用n次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个热点. 预测2020年将会考查:①条件概率的计算;②事件独立性的应用;③独立重复试验与二项分布的应用. 题型为解答题,试题难度不会太大,属中档题型.

1.条件概率及其性质

01条(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做□02P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)=□03P件概率,用符号□

若用n(A)表示事件A中基本事件的个数,则P(B|A)=本事件的个数).

(2)条件概率具有的性质 040≤P(B|A)≤1; ①□②如果B和C是两个互斥事件, 05P(B|A)+P(C|A). 则P((B∪C)|A)=□2.相互独立事件

01A,B是相互独立事件. (1)对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称□02P(B), (2)若A与B相互独立,则P(B|A)=□03P(A)P(B). P(AB)=P(B|A)P(A)=□04A与B,□05A与B,□06A与B也都相互独立. (3)若A与B相互独立,则□

07A与B相互独立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),则□3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验

01相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.Ai(i=1,2,…,n)表示第i在□02P(A1)P(A2)…P(An). 次试验结果,则P(A1A2A3…An)=□(2)二项分布

在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率03X~B(n,p),并称p为□04成功概率.在n次是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作□kn-k05Ck独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=□(k=0,1,2,…,np(1-p)

AB(P(A)>0).在古典概型中,

PAnAB(n(AB)表示AB共同发生的基

nAn).

1

1.概念辨析

(1)相互独立事件就是互斥事件.( )

(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;P(BA)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)·P(B).( )

(3)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)二项展开式的通项公式,其中a=

np,b=(1-p).( )

(4)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=Cnp(1-p)答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.小题热身

12

(1)已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于( )

355

A. 6C.2 15

B.D.9 101 15

kkn-k,k=0,1,2,…,

n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( )

答案 C 解析 ∵P(B|A)=2

. 15

PAB2121

,P(A)=且P(B|A)=,∴P(AB)=P(A)×P(B|A)=×=

PA5353

?1?(2)设随机变量ξ~B?5,?,则P(ξ=3)的值是( ) ?3?

A.C.10 24340 243

B.D.32 24380 243

答案 C

?1??2?2403?1?3

解析 因为ξ~B?5,?,所以P(ξ=3)=C5??·??=. ?3??3??3?243

23

(3)两个实习生每人加工一个零件,加工成一等品的概率分别为和,两个零件能否被

34加工成一等品相互独立,则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( )

1A. 21C. 4答案 B

2?3??2?35

解析 两个零件恰好有一个一等品的概率为×?1-?+?1-?×=. 3?4??3?412

B.5 12

1D. 6

2

1

(4)小王通过英语听力测试的概率是,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的

3概率是________.

4答案

9

?1?1?1?241

解析 所求概率P=C3·??·?1-?=.

?3??3?9

题型 一 条件概率

1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:“取到的2个数之和为偶数”,事件B:“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( )

1A. 82C. 5答案 B

解析 解法一:事件A包括的基本事件:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形,即n(AB)=1. 故由古典概型概率P(B|A)=

2

2

1B. 41D. 2

nAB1

=.故选B.

nA4

2

C3+C24C21PAB解法二:P(A)=2=,P(AB)=2=.由条件概率计算公式,得P(B|A)=

C510C510PA1

101

==.故选B. 4410

2.如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=________.

3

1答案

4

解析 由题意可得,事件A发生的概率P(A)=

S正方形EFGH2×22

=.事件AB表示“豆2=S圆Oπ×1π

12

×1

S△EOH21

子落在△EOH内”,则P(AB)==, 2=

S圆Oπ×12π

12π1PAB故P(B|A)===.

PA24

π

条件探究1 若将举例说明1中的事件B改为“取到的2个数均为奇数”,则结果如何? C3+C22C33解 P(A)=2=,P(B)=2=.

C55C510又B?A,则P(AB)=P(B)=所以P(B|A)=

3

, 10

2

2

2

PABPB3

==.

PAPA4

条件探究2 将举例说明1条件改为:从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数,事件A为“第一次取到的是奇数”,事件B为“第二次取到的是奇数”,求P(B|A)的值.

解 从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数,有A5种方法;其中第一次取到的是奇数,有A3A4种方法;第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数,有A3A2种方法.

A3A43A3A23

则P(A)=2=,P(AB)=2=,

A55A5103

101PAB所以P(B|A)===.

PA32

5

11

11

11

11

2

解决条件概率问题的步骤

第一步,判断是否为条件概率,若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼,一般为条件概率.题目中若没有出现上述字眼,但已知事件的出现影响所求事件的概率时,也需注意是否为条件概率.若为条件概率,则进行第二步.

第二步,计算概率,这里有两种思路:

4

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