第8讲 n次独立重复试验与二项分布
[考纲解读] 1.了解条件概率与两个事件相互独立的概念.(重点) 2.能够利用n次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是高考中的一个热点. 预测2020年将会考查:①条件概率的计算;②事件独立性的应用;③独立重复试验与二项分布的应用. 题型为解答题,试题难度不会太大,属中档题型.
1.条件概率及其性质
01条(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做□02P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)=□03P件概率,用符号□
若用n(A)表示事件A中基本事件的个数,则P(B|A)=本事件的个数).
(2)条件概率具有的性质 040≤P(B|A)≤1; ①□②如果B和C是两个互斥事件, 05P(B|A)+P(C|A). 则P((B∪C)|A)=□2.相互独立事件
01A,B是相互独立事件. (1)对于事件A,B,若A的发生与B的发生互不影响,则称□02P(B), (2)若A与B相互独立,则P(B|A)=□03P(A)P(B). P(AB)=P(B|A)P(A)=□04A与B,□05A与B,□06A与B也都相互独立. (3)若A与B相互独立,则□
07A与B相互独立. (4)若P(AB)=P(A)P(B),则□3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验
01相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.Ai(i=1,2,…,n)表示第i在□02P(A1)P(A2)…P(An). 次试验结果,则P(A1A2A3…An)=□(2)二项分布
在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率03X~B(n,p),并称p为□04成功概率.在n次是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作□kn-k05Ck独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=□(k=0,1,2,…,np(1-p)
AB(P(A)>0).在古典概型中,
PAnAB(n(AB)表示AB共同发生的基
nAn).
1
1.概念辨析
(1)相互独立事件就是互斥事件.( )
(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率;P(BA)表示事件A,B同时发生的概率,一定有P(AB)=P(A)·P(B).( )
(3)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)二项展开式的通项公式,其中a=
np,b=(1-p).( )
(4)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=Cnp(1-p)答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.小题热身
12
(1)已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于( )
355
A. 6C.2 15
B.D.9 101 15
kkn-k,k=0,1,2,…,
n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( )
答案 C 解析 ∵P(B|A)=2
. 15
PAB2121
,P(A)=且P(B|A)=,∴P(AB)=P(A)×P(B|A)=×=
PA5353
?1?(2)设随机变量ξ~B?5,?,则P(ξ=3)的值是( ) ?3?
A.C.10 24340 243
B.D.32 24380 243
答案 C
?1??2?2403?1?3
解析 因为ξ~B?5,?,所以P(ξ=3)=C5??·??=. ?3??3??3?243
23
(3)两个实习生每人加工一个零件,加工成一等品的概率分别为和,两个零件能否被
34加工成一等品相互独立,则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( )
1A. 21C. 4答案 B
2?3??2?35
解析 两个零件恰好有一个一等品的概率为×?1-?+?1-?×=. 3?4??3?412
B.5 12
1D. 6
2
1
(4)小王通过英语听力测试的概率是,他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的
3概率是________.
4答案
9
?1?1?1?241
解析 所求概率P=C3·??·?1-?=.
?3??3?9
题型 一 条件概率
1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:“取到的2个数之和为偶数”,事件B:“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( )
1A. 82C. 5答案 B
解析 解法一:事件A包括的基本事件:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形,即n(AB)=1. 故由古典概型概率P(B|A)=
2
2
1B. 41D. 2
nAB1
=.故选B.
nA4
2
C3+C24C21PAB解法二:P(A)=2=,P(AB)=2=.由条件概率计算公式,得P(B|A)=
C510C510PA1
101
==.故选B. 4410
2.如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)=________.
3
1答案
4
解析 由题意可得,事件A发生的概率P(A)=
S正方形EFGH2×22
=.事件AB表示“豆2=S圆Oπ×1π
12
×1
S△EOH21
子落在△EOH内”,则P(AB)==, 2=
S圆Oπ×12π
12π1PAB故P(B|A)===.
PA24
π
条件探究1 若将举例说明1中的事件B改为“取到的2个数均为奇数”,则结果如何? C3+C22C33解 P(A)=2=,P(B)=2=.
C55C510又B?A,则P(AB)=P(B)=所以P(B|A)=
3
, 10
2
2
2
PABPB3
==.
PAPA4
条件探究2 将举例说明1条件改为:从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数,事件A为“第一次取到的是奇数”,事件B为“第二次取到的是奇数”,求P(B|A)的值.
解 从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数,有A5种方法;其中第一次取到的是奇数,有A3A4种方法;第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数,有A3A2种方法.
A3A43A3A23
则P(A)=2=,P(AB)=2=,
A55A5103
101PAB所以P(B|A)===.
PA32
5
11
11
11
11
2
解决条件概率问题的步骤
第一步,判断是否为条件概率,若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼,一般为条件概率.题目中若没有出现上述字眼,但已知事件的出现影响所求事件的概率时,也需注意是否为条件概率.若为条件概率,则进行第二步.
第二步,计算概率,这里有两种思路:
4
相关推荐: