192，则首项a1等于( ) A．1 C．3
答案 (1)C (2)C
解析 (1)由等比数列的性质得a3a9＝a6＝2a5，
∵q＞0，∴a6＝2a5，q＝＝2，a1＝＝2，故选C.
1*
(2)设等比数列{an}共有2k＋1(k∈N)项，则a2k＋1＝192，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝
2
2
2
B．2 D．4
a6a5a2qq1126a1－a2k＋1q(a2＋a4＋…a2k)＋a2k＋1＝S偶＋a2k＋1＝－＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝＝2
qq1－qa1－192×－2
1－－2
2
2
＝255，解得a1＝3，故选C.
12．分类讨论思想在等比数列中的应用
3*
典例 (15分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，且－2S2，S3,4S4成等差数
2列．
(1)求数列{an}的通项公式； 113*
(2)证明：Sn＋≤(n∈N)．
Sn6
思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n项和，根据函数的单调性证明． 规范解答
(1)解 设等比数列{an}的公比为q， 因为－2S2，S3,4S4成等差数列，
所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，
a41
可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.[3分]
a32
3
又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为
2
an＝×?－?n－1＝(－1)n－1·n.[5分]
2
32
?1???
32
?1?n(2)证明 由(1)知，Sn＝1－?－?，
?2?
9
Sn＋＝1－?－?n＋
Sn?2?
1
?1?
1
?1?n1－?－??2?
??2＋2＝???2＋2
n1
，n为奇数，n2＋1
1
，n为偶数.n2－1
n
[10分]
1
当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，
Sn1113
所以Sn＋≤S1＋＝.[12分]
SnS16
1
当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，
Sn1125
所以Sn＋≤S2＋＝.[14分]
SnS212113*
故对于n∈N，有Sn＋≤.[15分]
Sn6
温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 ①已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论． ③项数的奇、偶数讨论．
④等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．
(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别．
[方法与技巧]
10
1．已知等比数列{an}
12
(1)数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{an}，{}也是等比数列．
an(2)a1an＝a2an－1＝…＝aman－m＋1. 2．判断数列为等比数列的方法 (1)定义法：an＋1an*
＝q(q是不等于0的常数，n∈N)?数列{an}是等比数列；也可用＝q(qanan－1
*
是不等于0的常数，n∈N，n≥2)?数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．
(2)等比中项法：an＋1＝anan＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N)?数列{an}是等比数列． [失误与防范]
1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．
2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．
4．等比数列性质中：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，不能忽略条件q≠－1.
2
*
A组 专项基础训练 (时间：30分钟)
1．已知等比数列{an}中，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，则a6＋a7等于( ) A．2 C．4 答案 C
解析 因为a2＋a3，a4＋a5，a6＋a7成等比数列，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，所以(a4＋a5)＝(a2＋
2
B．22 D．42
11
a3)(a6＋a7)，解得a6＋a7＝4.
2．(2014·重庆)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 答案 D
解析 设等比数列的公比为q，因为＝＝q，即a6＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.
3．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于( ) A．12 C．14 答案 C
解析 设数列{an}的公比为q， 由a1a2a3＝4＝a1q与a4a5a6＝12＝a1q， 可得q＝3，an－1anan＋1＝a1q因此q3n－69
33n－3
33
312
a6a9a3a6
32
B．13 D．15
＝324，
＝81＝3＝q，
436
所以n＝14，故选C.
4．若正项数列{an}满足lg an＋1＝1＋lg an，且a2 001＋a2 002＋…＋a2 010＝2 016，则a2 011＋a2 012＋…＋a2 020的值为( ) A．2 015·10 C．2 016·10 答案 C
解析 ∵lg an＋1＝1＋lg an，∴lg ∴
1010
B．2 015·10 D．2 016·10
11
11
an＋1
＝1， anan＋1
＝10，∴数列{an}是等比数列， an∵a2 001＋a2 002＋…＋a2 010＝2 016，
∴a2 011＋a2 012＋…＋a2 020＝10(a2 001＋a2 002＋…＋a2 010)＝2 016×10. 5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N，满足的公比为( ) A．－2 C．－3
B．2 D．3
*
10
10
S2ma2m5m＋1＝9，＝，则数列{an}Smamm－1
12
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