微积分发展历程

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微积分发展历程（一） 一、数学无穷发展的萌芽

无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”，因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。我们在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程

早在远古时代，无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情，而且远在两千年以前，人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。 在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。 在国外，早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。 由此，我们可以看到在数学无穷思想发展之初，古人就已在这个领域开创了一个光辉的起点。

虽说，古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。可以说，对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。

芝诺，公元前五世纪中叶古希腊哲学家。他提出的四个悖论虽是哲学命题。但却对数学无穷思想的发展产生了直接且深远影响。这里仅举其悖论之一。 阿基里斯悖论：跑得最快的阿基里斯永远追不上爬得最慢的乌龟。大意是说甲跑的速度远大于乙，但乙比甲先行一段距离，甲为了赶上乙，须超过乙开始的A点，但甲到了A点，则乙已进到A1点，而当甲再到A1点，则乙又进到A2点，依次类推，直到无穷，两者距离虽越来越近，但甲永远在乙后面而追不上乙。 这显然违背人们常识的芝诺悖论，因与无限问题密切相连，就使得古希腊人对无穷有些望之却步静而远之了。同时也导致古希腊数学家不得不把无限排斥在自己的推理之外了。

芝诺悖论就这样一直困惑着人们，问题的症结何在呢？

这里我们不得不提到一个伟大的数学家（物理学家）——阿基米德(Archimedes，约公元前287～212)，

阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。在推演这些公式的过程中，他创立了“穷竭法”，即我们今天所说的逐步近似求极限的方法，因而被公认为微积分计．．．．．．

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算的鼻祖。他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法，比．．．．

较精确的求出了圆周率。面对古希腊繁冗的数字表示方式，阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题。

微积分发展历程（二）

微积分学的诞生

随着时代的发展，实践中提出了越来越多的数学问题，待数学家们加以解决，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题……初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学工具。不少数学家为此做了不懈努力，如笛卡尔、费马、巴罗……并取得了一定成绩，正是站在这些巨人的肩膀上，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功运用无限过程的运算，创立了微积分学。这新发现、新方法的重要性使当时的知识界深感震惊，因而出现了一门崭新的数学分支：数学分析。这一学科的创立在数学发展史上翻开了崭新一页，谱写了光辉动人的乐章。

1）微积分的发展

无限小算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。 不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表有泰勒（B.Taylor）、麦克劳林（C.Maclaurin）、棣莫弗（A.de Moivre）、斯特林（J.Stirling）等。泰勒（1685_1731）做过英国皇家学会秘书。他在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了他早在1712年就已获得的著名定理x?z?v??x?x..v1z.?x..v212z.2?x?v3123z.2?.其中v为独立变量z的增量，x和z为流数。泰勒假定z随时间均匀变化，故z为常数，从而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式”：

h2f?x?h??f?x??hf??x??f???x??2!.。

泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。

泰勒公式在x=0时的特殊情形后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教科书中一直把x=0时的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。麦克劳林（1698_1746）是牛顿微积分学说的竭力维护者，他在这方面的代表性著作《流数论》，以纯熟却难读的几何语言论证流数方法，试图从“若干无例外的原则”出发严密推演牛顿的流数论，这是使微各分形式化的努力，但因囿于几何传统而并不成功。《流数论》中还包括有麦克劳林关于旋转可耻椭球体的引力定理，证明了两个共焦点的椭球体对其轴或赤道上一个质点的引力与它们的体积成正比。

麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状态。微积分发明权的争论滋长了不列颠数学家的民族保守情绪，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。与此相对照，在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼茨的后继者们的推动下蓬勃发展起来。

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2）积分技术与椭圆积分

18世纪数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼茨的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，积分技术的推进尤为明显。

当18世纪的数学家考虑无理函数的积分时，他们就在自己面前打开了一片新天地，因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示。例如雅各布?伯努利在求双纽线（在极坐标下方程为r2??2cos2?）弧长时，得到弧长积分s??tra2a?r440dr。在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分

?1?kt?dtdr。欧拉在s?a??1?t??1?kt?2202221774年处理弹性问题时也得到积分

????x??x?dx?a?????x??x?x20422。所有这些积分都属于后来所说的“椭圆积分”的范畴，

它们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般形式是?P?x?R?x?dx。勒让德后来将所有的椭圆积

分归结为三种基本形式。在18世纪，法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等还就特殊类型的椭圆积分积累了大量结果。对椭圆积分的一般研究在19世纪20年代被阿贝尔和雅可比分别独立地从反演的角度发展为深刻的椭圆函数理论。

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微积分发展历程（三）

3）牛顿的“流数术”

牛顿（Isaac Newton ,1642——1727）于伽利略去世那年——1642年（儒略历）的圣诞出生于英格兰肯郡伍尔索普村一个农民家庭，是遗腹子，且早产，生后勉强存活。少年牛顿不是神童成绩并不突出，但酷爱读书与制作玩具。17岁时，牛顿被母亲从他就读的格兰瑟姆中学召回田庄务农，但在牛顿的舅父 W .埃斯库和格兰瑟姆中学校长史托克思的竭力劝说下，牛顿的母亲在九个月后又允许牛顿返校学习。史托克思校长的劝说辞中，有一句话可以说是科学史上最幸运的预言，他对牛顿的母亲说：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失！”

牛顿于1661年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、笛卡儿和沃利斯等人的著作。三一学院至今还保存着牛顿的读书笔记，从这些笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。

1665年8月，剑桥大学因瘟疫流行而关闭，牛顿离校返乡，随后在家乡躲避瘟疫的两年，竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月。制定微积分，发现万有引力和颜色理论，……，可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图，都是在这两年描绘的。

流数术的初建

牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。说在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。

1665年夏至1667年春，牛顿在家乡躲避瘟疫期间，继续探讨微积分并取得了突破性进展。据他自述，1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了“反流数术”（积分法）。1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》（Tract on Fluxions）著称，当时虽未正式发表，但在同事中传阅。《流数简论》（以下简称《简论》）是历史上第一篇系统的微积分文献。

《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。该文事实上以速度形式引进了“流数”（即微商）概念，虽然没有使用“流数”这一术语。牛顿在《简论》中提出微积分的基本问题如下：

（a）设有两个或更多个物体A，B，C，…在同一时刻内描画线段x，y，z，…。已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p，q，r，…的关系。

（b）已知表示线段x和运动速度p、q之比

p的关系方程式，求另一线段y。 q牛顿对多项式情形给出（a）的解法。以下举例说明牛顿的解法。 已知方程x3?abx?a3?dyy?0，牛顿分别以x?po和y?qo代换方程中的x和y，然后利用二项式定理，展开得

x3?3pox2?3p2o2x?p3o3?dy2?2dqoy?dq2o2?abx?abpo?a3?0

消去和为零的项?x3?abx?a3?dyy?0?，得

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3pox2?3p2o2x?p3o3?2dqoy?dq2o2?abpo?0，以o除之，得 3px2?3p2xo?p3o2?2dqy?dq2o?abp?0

这时牛顿指出“其中含o的那些项为无限小”，略去这些无限小，得

3px2?2dqy?abp?0

即所求的速度p与q的关系。牛顿对所有的多项式给出了标准的算法，即对多

?ipjq?项式f?x,y???aijxiyj?0，问题（a）的解为????aijxiyj?0

y??x对于问题（b），牛顿的解法实际上是问题（a）的解的逆运算，并且也是逐步

列出了标准算法。特别重要的是，《简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”。牛顿在《简论》中是这样推导微积分基本定理的： f c

q y a b

x p=I

d e g

如上图，设ab=x,△abc=y为已知曲线q=f（x）下的面积，作de∥ab⊥ad∥be=p=1。当线cbe以单位速度向右移动时，eb扫出面积 abed=x，变化率dxdydx?p?1；cb扫出面积△abc=y，变化率?q，?p。由此得dtdtdtdydx/?dtdtq?q?f?x?， p 这就是说，面积y在点x处的变化率是曲线在该处的q值。这就是微积分基本定理。利用问题（b）的解法可求出面积y。

xn?1 作为例子，牛顿算出纵坐标为y?x 曲线下的面积是；反之，纵坐标

n?1nxn?1为的曲线真切线斜率为xn。当然，《简论》中对微积分基本定理的论述并不n?1能算是现代意义下的严格证明。牛顿在后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明。

在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的

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