知能专练（八） 平 面 向 量
一、选择题
1．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c, b∥c，则|a＋b|＝( ) A.5 C．25
B.10 D．10
??2x－4＝0，解析：选B 由题意可知?
?－4－2y＝0，?
??x＝2，
解得?
?y＝－2.?
故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝10.
π―→―→―→―→
2．在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使BD＝2DA，那么CD·CA等于( )
2A．3 C．5
B．4 D．6
―→―→―→
解析：选D 如图，CD＝CB＋BD. ―→―→又∵BD＝2DA，
―→―→2―→―→2―→―→∴CD＝CB＋BA＝CB＋(CA－CB)，
33―→2―→1―→
即CD＝CA＋CB.
33π―→―→
∵∠C＝，∴CA·CB＝0，
2→1―→?――→―→?2―→
∴CD·CA＝?CA＋CB?·CA
3?3?2―→21―→―→
＝CA＋CB·CA＝6. 33
―→―→
3．(2017·长春模拟)如图，点A，B在圆C上，则AB·AC的值( ) A．只与圆C的半径有关 B．只与弦AB的长度有关
C．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关 D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值
―→―→1―→―→
解析：选B 延长AC与圆C相交于点D，连接DB，则∠ABD＝90°，所以AB·AC＝AB·AD21―1―→―→→2
＝|AB|·|AD|cos A＝|AB|，只与弦AB的长度有关． 22
4．(2018届高三·杭州市联谊校联考)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝2，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为( )
A．2 3C. 2
B．1 D.3
解析：选D 如图，直线l为与a＋b平行的直线，c可平移到以a的终点为起点，则c的终点在直线l上，由三角形法则可知，当a＋c与直线l垂直时，|a＋c|取到最小值3.
5．(2017·绍兴模拟)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC2―→―→―→―→
上，BE＝λBC，DF＝μDC.若AE·AF＝1，CE·CF＝－，则λ＋μ＝( )
3
1A. 25C. 6
2 B.
37 D.
12
解析：选C 如图所示，以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy，不妨设A(0，－1)，B(－3，―→―→
0)，C(0,1)，D(3，0)，由题意得CE＝(1－λ)·CB＝(3λ－3，―→―→
λ－1)，CF＝(1－μ)CD＝(3－3μ，μ－1)．
22―→―→
因为CE·CF＝－，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－，即(λ－1)(μ－
331
1)＝.
3
―→―→―→
因为AE＝AC＋CE＝(3λ－3，λ＋1)， ―→―→―→
AF＝AC＋CF＝(3－3μ，μ＋1)， ―→―→
又AE·AF＝1， 所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.
??λ－由???λ＋
μ－μ＋
1
＝，3＝2，
5
整理得λ＋μ＝.
6
―→―→
6．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB―→
＋PC)的最小值是( )
A．－2
3
B．－
2
4C．－
3
D．－1
解析：选B 如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1,0)，
C(1,0)，设P(x，y)，则PA＝(－x, 3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC―→―→―→
―→―→―→
＝(1－x，－y)，所以PA·(PB＋PC)＝(－x，3－y)·(－2x，－2y)＝2x＋2?y－
2
??333?23―→―→―→
?－2，当x＝0，y＝2时，PA·(PB＋PC)取得最小值，为－2. 2?
二、填空题
―→―→―→―→
7．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，AG＝mAB＋AC，则|AG|的最小值为________，―→―→
又若AG⊥BC，则m＝________.
―→―→―→―→2→2―→2―→―→2―2
解析：因为AG＝mAB＋AC，所以|AG|＝m|AB|＋|AC|＋2mAB·AC＝9m＋4＋1―→―→―→2?1?22
2m|AB|·|AC|·cos 60°＝9m＋6m＋4＝9?m＋?＋3.当m＝－时，|AG|取得最小值为3，
3?3?―→2
所以|AG|的最小值为3.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，所以|BC|＝4＋9－2×2×3cos 9＋7－424＋7－91―→―→
60°＝7，所以|BC|＝7，所以cos B＝＝，cos C＝＝ .因为AG⊥BC，
6774727―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
所以AG·BC＝0，所以(mAB＋AC)·BC＝0，所以mAB·BC＋AC·BC＝0，所以m|AB2cos C―→―→―→
|·|BC|cos(π－B)＋|AC|·|BC|cos C＝0，所以－3mcos B＋2cos C＝0，所以m＝＝3cos B2171××＝. 32726
1
答案：3
6
8．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则―→―→
AE·AF的最大值为________．
解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y?1?轴，建立平面直角坐标系，则E?2，?.设F(x，y)， ?2?
?0≤x≤2，?则???0≤y≤1，
11―→―→
AE·AF＝2x＋y.令z＝2x＋y，当z＝2x22
19―→―→
＋y过点(2,1)时，AE·AF取最大值. 22
9答案： 2
―→―→―→
9．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1,1，2，―OA→与―OC→的夹角为α，且tan α＝7，―OB→与―OC→
的夹角45°.若―OC→＝m―OA→＋n―OB→
(m，n∈R)，则m＋n＝________.
解析：法一：如图，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平角坐标系，则A(1，0)，
由tan α＝7，α∈??π?
0，?2??，
得sin α＝71
52，cos α＝52，
设C(xC，yC)，B(xB，yB)，
则x―→
α＝2×11C＝|OC|cos 52＝5
，
y―→
77C＝|OC|sin α＝2×
?17?52＝5，即C??5，5??.
又cos(α＋45°)＝
152
×1
2－752×12
＝－3
5，
sin(α＋45°)＝711152×2＋52×2＝4
5，
则x＝|―OB→
|cos(α＋45°)＝－3B5，
y―→＋45°)＝4B＝|OB|sin(α?34?5
，即B??－5，5??
.
?由―OC→＝m―OA→＋n―OB→
?15＝m－3
5n，，可得?
??7＝4
55n，
?m＝54
，
解得?
?所以m＋n＝57
??n＝7
4＋4
＝3.
4，
法二：由tan α＝7，α∈??π?0，2??71?，得sin α＝52，cos α＝52
，
为
面直
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