则cos(α＋45°)＝
152
×1
713－×＝－，
52522
211――→―→―→―→→―→?3?所以OB·OC＝1×2×＝1，OA·OC＝1×2×＝，OA·OB＝1×1×?－?＝
2?5?5253
－， 5
13―→―→―→―→―→―→2―→―→
由OC＝mOA＋nOB，得OC·OA＝mOA＋nOB·OA，即＝m－n.①
55―→―→―→―→―→2
同理可得OC·OB＝mOA·OB＋nOB， 3
即1＝－m＋n.②
5226
①＋②得m＋n＝，
555即m＋n＝3. 答案：3 三、解答题
10．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin
A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
π
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
3解：(1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B. 即a·＝b·，
2R2R其中R是△ABC的外接圆半径， 故a＝b，即△ABC为等腰三角形． (2)由题意可知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知4＝a＋b－ab＝(a＋b)－3ab， 即(ab)－3ab－4＝0， ∴ab＝4(舍去ab＝－1)．
11π
故S△ABC＝absin C＝×4×sin＝3.
223
3??11．已知向量a＝?sin x，?，b＝(cos x，－1)．
4??(1)当a∥b时，求cosx－sin 2x的值；
(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2
2
2
2
2
ab＝ 3，b＝2，sin B＝π???π??6?，求f(x)＋4cos?2A＋??x∈?0，??的取值范围． 6???3??3?
33
解：(1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0，∴tan x＝－. 44cosx－2sin xcos x1－2tan x8
∴cosx－sin 2x＝＝＝. 222
sinx＋cosx1＋tanx5
2
2
π?3?(2)f(x)＝2(a＋b)·b＝ 2sin?2x＋?＋.
4?2?
ab2
由正弦定理，得＝，可得sin A＝，
sin Asin B2
π?π?1π??∴A＝.∴f(x)＋4cos?2A＋?＝2sin?2A＋?－. 6?4?24??
?π?∵x∈?0，?，
3??
π?π11π?∴2x＋∈?，?.
12?4?4∴
π?31?－1≤f(x)＋4cos?2A＋?≤2－. 6?22?
π?1??3?∴f(x)＋4cos?2A＋?的取值范围为?－1， 2－?.
6??2??2
―→―→
12．已知向量OA＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB＝(－sin β，cos β)，其中O为坐标原点．
π―→―→
(1)若α－β＝且λ＝1，求向量OA与OB的夹角；
6
―→―→
(2)若|AB|≥2|OB|对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围． ―→
解：(1)当λ＝1时，OA＝(cos α，sin α)， ―→22
故|OA|＝ cosα＋sinα＝1， ―→|OB|＝ －sin β
2
＋cosβ＝1.
2
π1―→―→
OA·OB＝cos α·(－sin β)＋sin αcos β＝sin(α－β)＝sin＝，
62―→―→
故cos〈OA，OB〉＝
―→―→OA·OB1
＝.
―→―→2| OA||OB|
―→―→
又因为〈OA，OB〉∈[0，π]， π―→―→
所以〈OA，OB〉＝.
3
―→―→―→
(2)AB＝OB－OA＝(－λcos α－sin β，－λsin α＋cos β)，
―→―→2故|AB|≥2|OB|对任意实数α，β都成立，即(－λcos α－sin β)＋(－λsin α＋cos β)≥4对任意实数α，β都成立，
整理得λ＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意实数α，β都成立． 因为－1≤sin(β－α)≤1，
??λ>0，所以?2
?λ＋1－2λ≥4?
2
2
??λ<0，
或?2
?λ＋1＋2λ≥4，?
解得λ≥3或λ≤－3.
所以所求实数λ的取值范围为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．
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