若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． 解 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
??1－m＝－2，∴?方程组无解， ?1＋m＝10，?
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验．
跟踪训练2 (1)若“x>2m2－3”是“－1 解析 依题意，可得(－1,4)(2m2－3，＋∞)， 所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1. (2)设n∈N＋，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 答案 3或4 解析 由Δ＝16－4n≥0，得n≤4， 又n∈N＋，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根； 当n＝3时，方程有整数根1,3， 当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4. 利用充要条件求参数范围 逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是 演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质． 例 已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若?p是?q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 1 0，? 答案 ??2? ?1? ≤x≤1?，命题q为{x|a≤x≤a＋1}． 解析 方法一 命题p为?x??2 ? ? ?1? x>1或x ? ? ?q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x a＋1>1，a＋1≥1，????1 ∴?1或?1∴0≤a≤. 2 ???a≤2?a<2， ?1? ≤x≤1?， 方法二 命题p为A＝?x??2 ? ? 命题q为B＝{x|a≤x≤a＋1}． ∵?p是?q的必要不充分条件， ∴p是q的充分不必要条件，即AB. a＋1≥1，a＋1>1，????1 ∴?1或?1∴0≤a≤. 2a 素养提升 例题中得到实数a的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰． 1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题． 2．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( ) A．逆命题 C．逆否命题 答案 B 解析 命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题． 11 x－?<”是“x3<1”的( ) 3．(2018·天津)设x∈R，则“??2?2A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A 11 x－?<，得0 x－?<”?“x3<1”； “??2?2 由x3<1，得x<1，当x≤0时， B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．否命题 D．否定 ?x－1?≥1，即“x3<1”?“?x－1?<1”． ?2?2?2?2 11 x－?<”是“x3<1”的充分不必要条件． 所以“??2?2故选A. 4．(2018·抚顺模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a 解析 由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a ①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题； ③“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题； ④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A．①②③ C．①③④ 答案 C 解析 ①的逆命题“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m>1”． 因为当m＝0时，解集不是R， ??m>0， 所以应有?即m>1.所以③是真命题； ?Δ<0，? B．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B．②③④ D．①④ ④原命题为真，逆否命题也为真． 6．(2018·包头模拟)“log2(2x－3)<1”是“4x>8”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A 353 解析 由log2(2x－3)<1?0<2x－3<2? 222“4x>8”的充分不必要条件，故选A. 7．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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