由侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，得PO⊥平面ABCD，故FO⊥PO， 又FO⊥AD，则FO⊥平面PAD，∴FO⊥AE， 又CD∥FO，则CD⊥AE， 又E是PD中点，则AE⊥PD，
由线面垂直的判定定理知AE⊥平面PCD， 又AE?平面AEC，故平面AEC⊥平面PCD； （Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系O﹣xyz， 令AB＝a，则P（0，0，由（Ⅰ）知
＝（
），A（1，0，0），C（﹣1，a，0）．
）为平面PCE的法向量，
令＝（1，y，z）为平面PAC的法向量， 由于
＝（1，0，﹣
），
＝（2，﹣a，0）均与垂直，
∴，解得，则，
由cos θ＝||＝，解得a＝．
故四棱锥P﹣ABCD的体积V＝SABCD?PO＝?2??＝2．
【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．
19．（12分）为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取60人，从乙校抽取50人进行分析．
通过人数 未通过人数 总计
第17页（共23页）
甲校 乙校 总计
60
30
（1）根据题目条件完成上面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；
（2）现已知甲校A，B，C三人在某大学自主招生中通过的概率分别为，，，用随机变量X表示A，B，C三人在该大学自主招生中通过的人数，求X的分布列及期望E（X）． 参考公式：参考数据： P（K2≥k0） 0.15 k0
2.072
0.10 2.706
0.05 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
0.001 10.828
．
【分析】（1）根据题意填写2×2列联表，计算K2，对照临界值得出结论；
（2）根据题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
【解答】解：（1）根据题意，填写2×2列联表如下； 甲校 乙校 总计 由K2＝＞6.635，
所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关；
（2）设A，B，C自主招生通过分别记为事件M，N，R，则P（M）＝，P（N）＝P（R）＝，
∴随机变量X的可能取值为0，1，2，3； P（X＝0）＝P（
）＝××＝，
通过 40 20 60
未通过 20 30 50
总计 60 50 110
算得，K2＝
≈7.8
第18页（共23页）
P（X＝1）＝P（M+N+R）＝××+××+××＝，
，
P（X＝2）＝P（MN+NR+MR）＝××+××+××＝P（X＝3）＝P（MNR）＝××＝所以随机变量X的分布列为： X 0 P
1 2 3
+3×
＝．
；
数学期望为E（X）＝0×+1×+2×
【点评】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是中档题．
20．（12分）已知动圆P经过点N（1，0），并且与圆M：（x+1）2+y2＝16相切． （1）求点P的轨迹C的方程；
（2）设G（m，0）为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A、B两点，当k为何值时ω＝|GA|2+|GB|2是与m无关的定值，并求出该值定值． 【分析】（1）由题意可得点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线l：y＝k（x﹣m），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标与纵坐标的和与积，再由ω＝|GA|2+|GB|2是与m无关的定值求得k，进一步得到该定值． 【解答】解：（1）由题设得：|PM|+|PN|＝4， ∴点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆， ∵2a＝4，2c＝2，∴
，
∴椭圆方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线l：y＝k（x﹣m），
由
，得（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12＝0，
第19页（共23页）
，
∴y1+y2＝k（x1﹣m）+k（x2﹣m）﹣2km＝．
．
∴
＝．
∵ω＝|GA|2+|GB|2的值与m无关，∴4k2﹣3＝0， 解得
．此时ω＝|GA|2+|GB|2＝7．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题． 21．（12分）已知函数f（x）＝sinx﹣（1）若f（x）在[0，
．
]上有唯一极大值点，求实数a的取值范围；
（2）若a＝1，g（x）＝f（x）+ex，且g（x1）+g（x2）＝2（x1≠x2），求证：x1+x2＜0． 【分析】（1）求函数的导数，结合极值和导数的关系进行判断求解即可．
（2）利用分析法进行转化证明，构造新函数F（x）＝g（x）+g（﹣x）﹣2，求的导数，判断的单调性进行证明即可．
【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝cosx﹣ax， 当a≤0时，f′（x）≥0，此时f（x）在[0，足条件．
当a＞0时，[f′（x）]′＝﹣sinx﹣a＜0，即f′（x）在[0，＝1＞0，f′（
）＝﹣
a＜0，
]使得x∈（0，x0）时，f′（x）＞0函数为增函数，x∈（x0，
）
]上单调递减，由f′（0）
]上为增函数，f（x）不存在极值，不满
故存在唯一的x0∈[0，
时，f′（x）＜0函数为减函数，
此时x0是唯一一个极大值点，综上a＞0．
第20页（共23页）
相关推荐：
loading