(2)若a=1,则f(x)=sinx﹣x2.则g(x)=sinx﹣x2+ex, 则g′(x)=cosx﹣x+ex≥1+cosx≥0, ∴g(x)=sinx﹣x2+ex,在R上单调递增, ∵g(0)=1,∴x1<0<x2,
欲证明:x1+x2<0,等价证明:x1<﹣x2,等价g(x1)<g(﹣x2), ∵g(x1)+g(x2)=2,∴等价证明0<g(﹣x2)+g(x2)﹣2, 令F(x)=g(x)+g(﹣x)﹣2=ex+ex﹣x2﹣2,(x>0),
﹣
∵F′(x)=ex﹣ex﹣2x,(x>0),[F′(x)]′=ex+ex﹣2>0,
﹣
﹣
故x>0时,F′(x)单调递增,F′(x)>F′(0)=0, ∴F(x)单调递增,则F(x)>F(0)=0,得证.
【点评】本题主要考查导数的应用,涉及极值点存在,切线放缩ex≥x+1,二阶导数的应用,构造函数解决不等式的证明,考查学生的函数数学,转化能力,有一定的难度. (二)选考题10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第-题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为(
,
),直线l的极坐标方程为ρcos(θ﹣
)=a,.
(1)若点A在直线l上,求直线l的直角坐标方程; (2)圆C的参数方程为求a的值.
【分析】(1)通过点在直线,列出方程得到a,然后求解直线l的直角坐标方程; (2)消去参数,求出
径半弦长的关系,即可求a的值. 【解答】(本小题满分10分) 解:(1)由点
在直线ρcos(θ﹣
)=a上,可得a=
(α为参数)的普通方程,通过圆心到直线的距离半(α为参数),若直线l与圆C相交的弦长为
,
所以直线l的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2
从而直线l的直角坐标方程为x+y﹣2=0.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x﹣2)2+y2=1
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所以圆C的圆心为(2,0),半径r=1, 而直线l的直角坐标方程为则圆心到直线l的距离为求得分)
【点评】本题考查坐标系与参数方程的知识,转化思想的应用,考查直线与圆的位置关系,考查计算能力. [选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|ax﹣1|,不等式f(x)≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2}. (1)求a的值; (2)若关于x的不等式
的解集非空,求实数k的取值范围.
或
,所以
,若直线l与圆C相交的弦长为
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10
【分析】(1)根据条件分a>0和a<0两种情况建立关于a的不等式组,解出a即可; (2)不等式三角不等求出
【解答】解:当a>0时,
的解集非空,只需k>的最小值,可得k的范围.
,
,根据绝对值
∵不等式f(x)≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2},
∴,解得a=2,
当a<0时,,
∵不等式f(x)≤3的解集是{x|﹣1≤x≤2},
∴,该式无解,
∴a=2; (2)∵
当且仅当(2x﹣1)(2x+1)≤0,即
≥
时取等号,
,
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∴要使存在实数解,只需
.
,
即实数k的取值范围是
【点评】本题考查了绝对值不等的解法和不等式有解问题,考查了转化思想和计算能力,属中档题.
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