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20.（12分）
当今信息时代，众多高中生也配上了手机．某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，并制成下面的2?2列联表：
（1）判断是否有97.5%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？
（2）从这50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数学题，甲、乙独立解出
此题的概率分别为P1，P2，且P2?0.5 ，若|P，则此二人适合结为学习上互帮互助1?P2|≥0.4的“学习师徒”，记X为两人中解出此题的人数，若X的数学期望E(X)?1.4，问两人是否适合结为“学习师徒”？
n(ad?bc)2参考公式及数据：K?，其中n?a?b?c?d.
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2 很少使用手机 经常使用手机 合计 及格 20 10 30 不及格 6 14 20 合计 26 24 50 P(K2≥K0) K0 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635
21.（12分）
已知抛物线x2?4y焦点为F，点A，B，C为该抛物线上不同的三点，且满足FA?FB?FC?0.
（1）求FA?FB?FC；
（2）若直线AB交y轴于点D(0，b)，求实数b的取值范围．
22.（12分）
已知函数f(x)?ax?lnx?1．
???上递增，求实数a的取值范围； （1）若函数f(x)在区间?1，（2）求证：ln(n?2)?1?11??23?1(n?N*)． n?1优质文档
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资阳市2016—2017学年度高中二年级第二学期期末质量检测
理科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 1.D 2.C 3.B 4.A
5.C
6.C 7.A
8.B
9. D
10.B 11.C
12.A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．y?2x?2
14. －20
15. 12π
16. π24
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。 17．（10分）
解析：（1）因为右焦点为F(5,0)，所以双曲线焦点在x轴上，且c?5， 又离心率e?c5a?2，所以a?2，b2?c2?a2?1， x2 所以所求双曲线的标准方程为：4?y2?1 . ·············（2）因为实轴长为4，所以2a?4，即a?2， 所以由等轴双曲线得b?a?2，
当焦点在x轴上时，所求双曲线的标准方程为：x2y24?4?1，
·······当焦点在y轴上时，所求双曲线的标准方程为：y24?x2 4?1
·······分
18．（12分）
解析：（1）记审核过程中只进行两道程序就停止审核为事件A， 事件A发生的概率P(A)?67?(1?516)?7． ················（2）X的可能取值为0，1，2，3．
一部手机通过三道审核可以出厂的概率为67?56?1415?23， ·········P(X?0)?C02313(1?3)?27； P(X?1)?C12263(1?3)2?3?27； P(X?2)?C222123(1?3)1?(3)2?27； P(X?3)?C32383(3)?27． 优质文档
5分
8分 104分 6分
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所以X的分布列为：
X P 0 1 271 6 272 12 273 8 27 ·································· 10分
数学期望E(X)?分
19．（12分）
解析：函数f(x)的定义域为(0,??)． （1）由题f?(x)?1?1?6?2?12?3?8················· 12?2.
27a3?， 2xxa?1?0，解得a?0， ·· 3分 9所以由x?3是函数f(x)的一个极值点得f?(3)?1?此时f?(x)?1??3xx?3． x所以，当x?3时，f?(x)?0；当0?x?3时，f?(x)?0， 即函数f(x)在(3,??)单调递增；在(0,3)单调递减．
所以函数f(x)的单调递增区间为(3,??)，单调递减区间为(0,3). ······ 6分 （2）因为a??2，所以f(x)?x?223(x?1)(x?2)． ?3lnx，f?(x)?1?2??2xxxx所以，当0?x?1或x?2时，f?(x)?0；当1?x?2时，f?(x)?0． 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(2,??)；单调递减区间为(1,2)，
又x??1,e?，所以f(x)在?1,2?递减，在?2,e?递增， ············ 9分 所以f(x)的最小值f(x)min?f(2)?1?3ln2， ·············· 10分
又f(1)??1，f(e)?e?2221.9584?2 ?3及f(e)?f(1）?e??2?2.72??2??0，
ee2.722.72所以f(x)的最大值为f(x)max?f(1)??1. ················ 12分
20．（12分）
50?(20?14?6?10)26050解析：（1）由列联表可得：K???5.024，
30?20?26?249362优质文档
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所以，有97.500的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响. ········ 6分 （2）依题：解出此题的人数X可能取值为0,1,2，可得分布列为
X P 0 (1?P1)(1?P2) 1 (1?P1)P2?P1(1?P2) 2 P1P2 ·································· 9分 所以E(X)?P··········· 101?P2?1.4，又P2?0.5，所以P1?0.9， 分
且P1?P2?0.4?0.4，
所以二人适合结为“学习师徒”. ···················· 12分
21．（12分）
解析：设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 由抛物线x2?4y得焦点F坐标为(0,1)，
所以FA?(x1,y1?1)，FB?(x2,y2?1)，FC?(x3,y3?1), 所以由FA?FB?FC?0得??x1?x2?x3?0，?y1?y2?y3?3?0.(?)， ········· 3分
（1）抛物线的准线方程为y??1，
由抛物线定义得：FA?y1?1，FB?y2?1，FC?y3?1，
所以FA?FB?FC?y1?y2?y3?3?6. ················ 5分 （2）显然直线AB斜率存在，设为k，则直线AB方程为y?kx?b，
?y?kx?b，联立?2消去y得x2?4kx?4b?0，
?x?4y，所以Δ?16k2?16b?0，即k2?b?0．...................... ...................①
且x1?x2?4k，x1x2??4b，所以y1?y2?k(x1?x2)?2b?4k2?2b， ····· 7分
??x3??4k，代入式子(?)得?又点C也在抛物线上， 2y?3?4k?2b，??3所以16k2?12?16k2?8b，即k2?3?2b．....................................8② ··································· 9分
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?3?2b?0，13由①，②及K2?0可解得?即??b?， ··········· 10
22?3?6b?0，分
又当b?1时，直线AB过点F，此时A,B,F三点共线，由FA?FB?FC?0得
FC与FA共线，即点C也在直线AB上，此时点C必与A,B之一重合， 不满足点A,B,C为该抛物线上不同的三点，所以b?1， 所以实数b的取值范围为(?,1)分
22．（12分）
解析：函数f(x)的定义域为(0,??)． （1）由题有f?(x)?a?1··········· 3分 ?0在区间?1,???上恒成立，
x123(1,]. ················ 1221?1??1??1， 所以a???，又y?在区间?1,???上递减，所以??x?x?max?x?max即实数a的取值范围为?1,???． ···················· 5分 （2）取a?1，由(1)有f(x)在区间?1,???上递增，
所以，当x?1时，f(x)?f(1)?0即lnx?x?1， ············· 8分 因为1?分
所以：ln所以：ln1?12?113?11n?11n?1?11， ?1，ln?，ln?，....，ln?，ln?12233nnn?1n?11?12?13?1?ln?ln?123?lnn?1n?1?111?ln?1???nn?123?11， ?nn?11111n?11?1(n?N?)，所以ln(1?)?1??1?，即ln?， ···· 10nnnnnn即ln(n?2)?1?分
111············· 12??...?(n?N?)，得证．
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