(Ⅲ)存在点D使AC1∥平面CDB1,且D为AB中点,下面给出证明. 设BC1与CB1交于点O,则O为BC1中点.
在?ABC1中, 连结OD,D,O分别为AB,BC1的中点,故OD为?ABC1的中位线,
?OD∥AC1,又AC1?平面CDB1,OD?平面CDB1,
?AC1∥平面CDB1.
故存在点D为AB中点,使AC1∥平面CDB1. ??????14分 解法二 ?直三棱柱ABC?A1B1C1,底面三边长AC?3,BC?4,AB?5,
?AC,BC,CC1两两垂直.
如图以C为坐标原点,建立空间直角坐标系C?xyz,则
C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
(Ⅰ)?AC?(?3,0,0),BC1?(0,?4,4),
?AC?BC1?0,故AC?BC1. …………….4分
(Ⅱ)平面ABC的一个法向量为m?(0,0,1), 设平面C1AB的一个法向量为n?(x0,y0,z0),
zC1A1OB1AC1?(?3,0,4),AB?(?3,4,0),
???????n?AC1?0,??3x0?4z0?0,由????得? ??3x?4y?0,00??n?AB?0,?令x0?4,则z0?3,y0?3. 则n?(4,3,3).
xCADBy故cos＜m,n＞=33?34. 3434第 9 页共 12 页
所求二面角的大小为arccos334. ……………………………………….9分 34(Ⅲ)同解法一 ……………………………………………………………..………..14分 18. （本小题满分13分） 解: （Ⅰ）依题意有，f?(x)?a?1. ┄┄┄┄┄3分 x?2 因此过(1,f(1))点的直线的斜率为a?1，又f(1)?a,
所以，过(1,f(1))点的直线方程为y?a?(a?1)(x?1). ……………………….4分
又已知圆的圆心为(?1,0)，半径为1，依题意，1?a?1(a?1)?12?1，
解得a?1. ┄???6分
1 . x?21因为a?0，所以2??2，又由已知x?2 . ……………….9分
a11令f?(x)?0，解得x?2?，令f?(x)?0，解得2??x?2. ┄┄┄┄11分
aa11所以,f(x)的单调增区间是(??,2?),f(x)的单调减区间是(2?,2). ????13分
aa（Ⅱ）f?(x)?a?19．（本小题满分13分）
y2x2?1. 解: (Ⅰ)由已知抛物线的焦点为(0,?2),故设椭圆方程为2?2aa?2 将点A(1,2)代入方程得
222142,整理得a?5a?4?0, ??122aa?2 解得a?4或a?1(舍).
y2x2??1. ????????????????6分 故所求椭圆方程为42 (Ⅱ)设直线BC的方程为y?22x?m,设B(x1,y1),C(x2,y2),
2代入椭圆方程并化简得4x?22mx?m?4?0, ??????9分 由??8m?16(m?4)?8(8?m)?0,可得m?8 . ( ?)
2222第 10 页共 12 页
2m2?4由x1?x2??, m,x1x2?243?16?2m2故BC?3x1?x2?. 2又点A到BC的距离为d?m3, ??????11分
故S?ABC1?BC?d?22m2(16?2m2)12m2?(16?2m2)???2, 42422当且仅当2m?16?2m,即m??2时取等号(满足?式)
所以?ABC面积的最大值为2. ??????13分 20.(本小题满分14分) 解: (Ⅰ)依题意有yn?n11?,于是yn?1?yn?. 4124所以数列?yn?是等差数列. ………………….4分
(Ⅱ)由题意得
xn?xn?1?n,即xn?xn?1?2n , (n?N?) ① 2所以又有xn?2?xn?1?2(n?1). ② ………6分 由②?①得xn?2?xn?2,
可知x1,x3,x5,?;x2,x4,x6,?都是等差数列.那么得
x2k?1?x1?2(k?1)?2k?a?2,
x2k?x2?2(k?1)?2?a?2(k?1)?2k?a. (k?N?) ?n?a?1(n为奇数）x?故n? …………10分
n?a(n为偶数）.?(Ⅲ)当n为奇数时,An(n?a?1,0),An?1(n?1?a,0),所以AnAn?1?2(1?a);
当n为偶数时,An(n?a,0),An?1(n?a,0),所以AnAn?1?2a;
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作BnCn?x轴,垂足为Cn,则BnCn?n1?,要使等腰三角形AnBnAn?1为直角三412角形,必须且只需AnAn?1?2BnCn.
n1?),即12a?11?3n . ① 41221当n?1时,a?;当n?3时,a?;当n?5, ①式无解.
367当n为偶数时,有12a?3n?1,同理可求得a?.
1221综上所述,上述等腰三角形AnBnAn?1中存在直角三角形,此时a的值为或
367或. ……………………..14分 12当n为奇数时,有2(1?a)?2(
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