随机数学，概率论与数理统计 概率作业A答案

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

随 机 数 学

（A）

标准化作业简答

吉林大学公共数学中心

2013.2

第一次作业

一、填空题 1．解：应填

2. 92分析：样本空间含基本事件总数C10，事件所含基本事件数为10个，即（1,2），（2，3）?，

（9,10），（10,1）共10个，故所求概率为

2．应填0.6.

102?. 2C109分析: P(AB)?P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB), 故P(B)?1?P(A)?0.6. 13．应填．

54. 应填5．应填

17. 252． 31． 26．应填4二、选择题

1．（D）．2.（C）．3．（B）．4.（C）．5．（C）．6.（A）. 三、计算题

1．将n只球随机地放入N?n?N?个盒子中，设每个盒子都可以容纳n只球，求：（1）每个盒子最多有一只球的概率p1；（2）恰有m?m?n?只球放入某一个指定的盒子中的概率（3）n只球全部都放入某一个盒子中的概率p3． p2；

解：此题为古典概型，由公式直接计算概率. PNn（1）p1?n.

NmCN(N?1)n?m（2）p2?.

Nn（3）p3?

N1. ?NnNn?11

1112．三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为,,，问三人

534中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

解：设Ai表示事件“第i个人译出密码”，i?1,2,3.B表示事件“至少有一人译出密码”. 则P(B)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?4233?. 53453．随机地向半圆0?y?2ax?x2(a?0)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴夹角小于

解：此为几何概型问题.

设A表示事件“原点与该点的连线与x轴夹角小于a2?42?1?1. 则P(A)??a22?2?的概率. 4?”. 4?a24．仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.

解: 设A表示事件“仪器出现故障”，

Bi表示事件“有i个元件出现故障”，i=1，2，3. （1）P(A)??P(Bi)P(ABi)，

i?132P(B1)?3?0.2?0.82?0.384，P(B2)?3?0.2?0.8?0.096，P(B3)?0.23?0.008.

所以P(A)?0.384?0.25?0.096?0.6?0.008?0.95?0.1612. （2）P(B2A)?P(AB2)0.096?0.6??0.3573. P(A)0.16125．在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件产品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品．

解：设Ai表示取到i件次品，i?0,1,2,3,4,5. （1）P(A2)?C52?0.1??1?0.1??0.73. （2）P(A0)?1??1?0.1??0.41.

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523四、证明题

1．设0?P(A)?1,0?P(B)?1,P(A|B)?P(A|B)?1，证明事件A与B相互独立． 证明：由定义证明.

P(A|B)?P(A|B)?1?P(A|B)?1?P(A|B)?P(A|B)P(AB)P(AB)?P(B)P(B)P(AB)P(A)?P(AB)??P(B)1?P(B)?P(AB)?P(A)P(B)?

所以事件A与B相互独立．

2．已知任意事件A,A1,A2,A3满足Ai?A?i?1,2,3?，证明

P(A)?P(1A)?P(2A?)证明：已知Ai?A,i?1,2,3.?P(?)． 23A?A?A

ii?13?P?A??P?A1??P?A2??P?A1A2?;P?A??P?A1??P?A3??P?A1A3?P?A??P?A2??P?A3??P?A2A3??3P?A??3??P?A1??P?A2??P?A3??????P?A1??P?A2??P?A3????P?A1A2??P?A1A3??P?A2A3??3P?A??3??P?A1??P?A2??P?A3????6?P?A??P?A1??P?A2??P?A3??2.

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