随机数学，概率论与数理统计 概率作业A答案

第二次作业

一、填空题 1．应填

11. 242. 应填

X P 3．应填

9． 64-1 0.4 1 0.4 3 0.2 4．应填34． 5．应填

19． 276. 应填0.2． 7. 应填0.975． 二、选择题

1.（D）. 2.（D）. 3．（A）．4．（B）．5．（D）．6. （C）. 7．（C）． 三、计算题

1．一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取得正品为止．用X表示取到的次品个数，写出X的分布律和分布函数．

解：X的分布律为

0 3 4X P

1 9 442 9 2203 1 220X的分布函数为

x?0,?0,?3?,0?x?1,?4??21F(x)??,1?x?2,

22??119,2?x?3,?220?x?3.??1,

4

2．设随机变量X的概率分布为

X P -2 0.10 -1 0.20 0 0.25 1 0.20 2 0.15 3 0.10 （1）求Y??2X的概率分布；（2）求Z?X2的概率分布． 解：倒表即可.

X P Y Z 即 Y P -2 0.10 4 4 -6 0.10 Z P -1 0.20 2 1 -4 0.15 0 0.25 0 0.25 0 0 -2 0.20 1 0.40 1 0.20 -2 1 0 0.25 4 0.25 2 0.15 -4 4 2 0.20 9 0.10 3 0.10 -6 9 4 0.10

3．设连续型随机变量X的概率密度为

0?x?1,?x,?f(x)??k(2?x),1?x?2,

?0,其它,?求：（1）k的值；（2）X的分布函数．

121k解：（1）由?xdx??k(2?x)dx???1，得k?1.

0122（2）当x?0时，F(x)?0，

x1当0?x?1时F(x)??f(t)dt?x2，

02x1x1当1?x?2时F(x)??f(t)dt??tdt??(2?t)dt?2x?x2?1，

0012当x?2时，F(x)?1.

4．设随机变量X服从正态分布N(3,4)，求：P{2?X?3},P{|X|?2}，P{|X|?3}． 解：P{2?X?3}?P{?11?X?0}??(0)??(?)??(0.5)?0.5. 22P{|X|?2}?1?P{|X|?2}?1??(2.5)??(0.5).

P{|X|?3}??(3)?0.5.

5

x??a,?0,?x?5．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??A?Barcsin,?a?x?a,(a?0)

a?x?a,??1,?aa?求：（1）常数A、B．（2）随机变量X落在??,?内的概率．（3）X的概率密度函数．

?22?解：（1）F(a?0)?A??2B?0,F(a?0)?A??11B?1，得A?,B?. 22?a?aa1?a（2）P???X???F()?F(??0)?.

2?223?21?,x?a,?（3）X的概率密度函数f(x)?F?(x)???a2?x2

?0,其 它.?6．已知随机变量X的概率密度为

?ax?b,f(x)???0,0?x<1,其 他,

1??11?5?且P?X???,求（1）常数a,b的值；（2）P??X??.

2?2?8?4???11解:（1）由1????f(x)dx??0(ax?b)dx?a?b，

215131再由?P{X?}??1(ax?b)dx?a?b,

82822解得a?1,b?1. 211117（2）P{?X?}??12(x?)dx?.

422324??1,X?0,17．已知随机变量X的概率密度为fX(x)?e?x,???x???,又设Y??求：（1）

?1,X?0,2?1??Y的分布律；（2）计算P?Y??.

2??解：（1）P{Y??1}?P{X?0}?FX(0)?111,P{Y?1}?1?P{Y??1}?1??. 222分布律为

Y -1 1 1 pk 12 2

6

1?1?（2）P?Y???.

2?2?8．已知随机变量X的概率密度为

?e?x,x?0, f(x)???0,x?0,求：随机变量Y?X2的概率密度函数．

解：设Y的分布函数为FY(y)?P?Y?y?. 当y?0时，FY(y)?P?Y?y??P?X2?y??0，

当y?0时，FY(y)?P?Y?y??P?X2?y??FX(y)?FX(?y)， ?1?ye,y?0,?因此Y的概率密度函数为fY(y)??2y

?0,y?0.?四、证明题

1. 设随机变量X服从正态分布N(?,?2)，证明：Y?aX?b(a?0)仍然服从正态分布，并指出参数.

解：教材59页例题.

2. 设随机变量X服从参数为??2的指数分布，证明：Y?1?e?2X服从[0,1]上的均匀分布．

解：设Y?1?e?2X的分布函数为FY(y),取值范围为[0,1]. 当y?0时，FY(y)?P?Y?y??0，

1当0?y?1时，FY(y)?P?Y?y??P?1?e?2X?y??FX(?ln(1?y))，

2当y?1时，FY(y)?P?Y?y??1，

?1,0?y?1,因此Y的概率密度函数为fY(y)??

0,其 它.?

7