点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质.此题关键是求得|AF1|=|AF2|.
14.(5分)点P(8,1)平分双曲线x﹣4y=4的一条弦,则这条弦所在的直线方程是2x﹣y﹣15=0.
考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
22
分析: 设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由AB的中点是P(8,1),知x1+x2=16,y1+y2=2,利用点差法能求出这条弦所在的直线方程. 解答: 解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2), ∵AB的中点是P(8,1),∴x1+x2=16,y1+y2=2,
22
把A(x1,y1),B(x2,y2)代入双曲线x﹣4y=4, 得
,
∴(x1+x2)(x1﹣x2)﹣4(y1﹣y2)(y1+y2)=0, ∴16(x1﹣x2)﹣8(y1﹣y2)=0, ∴k=
=2,
∴这条弦所在的直线方程是2x﹣y﹣15=0. 故答案为:2x﹣y﹣15=0.
点评: 本题考查弦中点问题及直线方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意点差法的合理运用.
15.(5分)设椭圆
的左、右焦点分别是F1、F2,线段F1F2被点
分成3:1的两段,则此椭圆的离心率为
考点: 椭圆的简单性质.
专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
.
分析: 根据题意,椭圆的焦点坐标为F1(﹣c,0)、F2(c,0),由线段F1F2被点分成3:1的两段建立关于b、c的等式,解出b=c,再由平方关系算出a=的离心率.
解答: 解:∵椭圆方程为
c,可得此椭圆
∴c=
,焦点坐标为F1(﹣c,0),F2(c,0),
分成3:1的两段,
∵线段F1F2被点
∴+c=3(c﹣),解之得b=c, 即故答案为:
=c,解之得a=
c,可得此椭圆的离心率为e=
点评: 本题给出椭圆的焦距被定点分成了3:1的两段,求椭圆的离心率.着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识,属于中档题.
16.(5分)对于曲线C:
=1,给出下面四个命题:
①由线C不可能表示椭圆;
②当1<k<4时,曲线C表示椭圆;
③若曲线C表示双曲线,则k<1或k>4; ④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<k<
其中所有正确命题的序号为③④.
考点: 椭圆的标准方程;双曲线的标准方程. 专题: 计算题.
分析: 据椭圆方程的特点列出不等式求出k的范围判断出①②错,据双曲线方程的特点列出不等式求出k的范围,判断出③对;据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围,判断出④错.
解答: 解:若C为椭圆应该满足即1<k<4 且k≠故①②错
若C为双曲线应该满足(4﹣k)(k﹣1)<0即k>4或k<1 故③对
若C表示椭圆,且长轴在x轴上应该满足4﹣k>k﹣1>0则 1<k<,故④对 故答案为:③④.
点评: 椭圆方程的形式:焦点在x轴时
,焦点在y轴时
;双曲线的方程形式:焦点在x轴时 ;焦点在y轴时
.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)已知点M在椭圆=1上,MP垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为P′,
并且M为线段PP′的中点,求P点的轨迹方程.
考点: 椭圆的应用.
专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析: 确定P,M坐标之间的关系,利用点M在椭圆上,可求P点的轨迹方程.
解答: 解:设P(x,y),则M(x,).
∵点M在椭圆上,
∴,
2
2
即P点的轨迹方程为x+y=36.
点评: 本题考查椭圆方程,考查代入法的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.
18.(12分)双曲线C与椭圆
+
=1有相同的焦点,直线y=
x为C的一条渐近线.求
双曲线C的方程.
考点: 双曲线的标准方程. 专题: 计算题;反证法.
222
分析: 求出椭圆的焦点坐标;据双曲线的系数满足c=a+b;双曲线的渐近线的方程与系数的关系列出方程组,求出a,b,写出双曲线方程.
解答: 解:设双曲线方程为(a>0,b>0)(1分)
由椭圆+=1,求得两焦点为(﹣2,0),(2,0),(3分)
∴对于双曲线C:c=2.(4分)
又y=x为双曲线C的一条渐近线, ∴=
(6分)
,(9分)
.(10分)
解得a=1,b=
∴双曲线C的方程为
点评: 本题考查利用待定系数法求圆锥曲线的方程其中椭圆中三系数的关系是:a=b+c;双曲线中系数的关系是:c=a+b.
19.(12分)已知直线y=kx﹣2交抛物线y=8x于A、B两点,且AB的中点的横坐标为2,求弦AB的长.
考点: 抛物线的应用.
专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.
2
分析: 直线y=kx﹣2代入抛物线y=8x,利用AB的中点的横坐标为2,结合韦达定理,求出k的值,即可求弦AB的长.
222
解答: 解:直线y=kx﹣2代入抛物线y=8x,整理可得kx﹣(4k+8)x+4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则
222222
2
∵AB的中点的横坐标为2,∴x1+x2=
2
=4得k=﹣1或2,
当k=﹣1时,x﹣4x+4=0有两个相等的实数根,不合题意, 当k=2时,|AB|=
=
=
=
.
点评: 本题考查弦长的求法,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
20.(12分)已知点P(3,4)是椭圆焦点,若PF1⊥PF2,试求: (1)椭圆方程;
(2)△PF1F2的面积.
考点: 椭圆的简单性质.
专题: 解题方法;待定系数法.
+
=1(a>b>0)上的一点,F1、F2是椭圆的两
分析: (1)设出焦点的坐标,利用垂直关系求出 c 值,椭圆的方程化为把点P的坐标代入,
2
可解得a的值,从而得到所求椭圆方程.
+=1,
(2) P点纵坐标的值即为F1F2边上的高,由 S△PF1F2 =|F1F2|×4 求得)△PF1F2的面积. 解答: 解:(1) 令F1(﹣c,0),F2(c,0),∵PF1⊥PF2,∴kPF1?kPF2=﹣1, 即
?
=﹣1,解得 c=5,∴椭圆方程为
+
=1.
∵点P(3,4)在椭圆上,∴+=1,解得 a=45,或a=5,
22
相关推荐: