2019届高三年级第一次模拟考试
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：
柱体的体积公式：V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高. 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.
1. 已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝ . 2i
2. 已知复数z＝－3i(i为虚数单位)，则复数z的模为 .
1－i
3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：
次数 人数 2 20 3 15
则平均每人参加活动的次数为 .
4. 如图是一个算法流程图，则输出的b的值为 .
5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .
6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm，侧面的对角线长是35cm，则个正四棱柱的体积为 cm3.
7. 若实数x，y满足x≤y≤2x＋3，则x＋y的最小值为 .
2
4 10 5 5 个，这
x22
8. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线－y＝1的
4两条渐近线分别交于A，B两点，AB＝6，则p的值为 .
9. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x＋t与曲线y＝asin x＋bcos x(a，b，t∈R)相切于点(0，1)，则(a＋b)t的值为 。
10. 已知数列{an}是等比数列，有下列四个命题：
① 数列{|an|}是等比数列； ② 数列{anan＋1}是等比数列；
?1?
③ 数列?a?是等比数列； ④ 数列{lg a2n}是等比数列.
?n?
其中正确的命题有 个.
11. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x).当0 →→→→→→ 12. 在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，AB·AC＝3，AC·AD＝2，则|AC＋2AD|的最小值为 . 13. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m，0)的直线 l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是 . 14. 已知函数f(x)＝(2x＋a)(|x－a|＋|x＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2 019的x的值为 . 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点.已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证： (1) MN∥平面PBC； (2) MD⊥平面PAB. 16. (本小题满分14分) 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acos B＝2bcos A，cos A＝(1) 求角B的值； (2) 若a＝6，求△ABC的面积. 3. 3 17. (本小题满分14分) x2y2 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B. ab12 (1) 已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程； 22(2) 已知△ABF的外接圆的圆心在直线y＝－x上，求椭圆的离心率e的值. 18. (本小题满分16分) 如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为23 m和4 m，上部2π 是圆心为O的劣弧CD，∠COD＝. 3 (1) 求图1中拱门最高点到地面的距离； (2) 现欲以点B为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC与地面水平线l所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值.
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