求数列通项公式的十种方法

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求数列通项公式的十一种方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法

1．适用于：an?1?an?f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

a?an?f(n)评注：已知a1?a,n?1，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、

分式函数，求通项

an.

①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。 2．若an?1?an?f(n)(n?2)，

a2?a1?f(1)则

a3?a2?f(2)? ?an?1?an?f(n)

两边分别相加得 an?1?a1?

?f(n)

k?1n 2 / 21

例1 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 1、解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则

an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2所以数列{an}的通项公式为an?n。

2

，a1?3，求数列{an}的通项公式。 例2 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1解法一：由an?1?an?2?3?1得an?1?an?2?3?1则

nnnan?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1所以an?3?n?1.

n?1解法二：an?1?3an?2?3?1两边除以3，得

nn

an?1an21?n??n?1， n?13333则

an?1an21，故 ???3n?13n33n?1ananan?1an?1an?2an?2an?3a2a1a1?(?)?(?)?(?)???(?)?3n3nan?1an?13n?23n?23n?332313212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)???(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2???2)?1333333

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1n?1(1?3)an2(n?1)3n2n11因此n?， ??1???331?3322?3n则an?211?n?3n??3n?. 322an???a?an?1?an?2n(n?N*)练习1.已知数列的首项为1，且写出数列n的通项公式.

（答案：n?n?1）

2练习2.已知数列

{an}满足a1?3，

an?an?1?1(n?2)n(n?1)，求此数列的通项公式.

（答案：裂项求和

an?2?1n ）

例3.已知数列

{an}中,

an?0Sn?且

1n(an?)2an,求数列{an}的通项公式.

Sn?解:由已知

1n1n(an?)Sn?(Sn?Sn?1?)2an得2Sn?Sn?1,

,由类型(1)有

2Sn?S12?2?3???n化简有

22Sn?Sn?1?n,

n(n?1)s?S?an?0nS?aa?12111又得,所以,又,

2n2n(n?1)2,

则

an?2n(n?1)?2n(n?1)2

此题也可以用数学归纳法来求解.

二、累乘法

1.适用于： an?1?f(n)an ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

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2．若

an?1aaa?f(n)，则2?f(1)，3?f(2)，??，n?1?f(n) ana1a2annan?1?a1??f(k) 两边分别相乘得，a1k?1例4 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。

n解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则

nan?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1aa????3?2?a1an?1an?2a2a1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]???[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3 ?2n?1[n(n?1)???3?2]?5(n?1)?(n?2)???2?1?3?3?2n?1n(n?1)2?5?n!n?1所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.

22??n?1a?na?an?1an?0n??an?1n例5.设n是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，?），

则它的通项公式是an=________.

解：已知等式可化为：

(an?1?an)?(n?1)an?1?nan??0

*?an?0(n?N)?(n+1)an?1an?1n??nan?0an?1

, 即nann?1?n ?n?2时，an?1an?anan?1a????2?a1n?1?n?2??1?11an?1an?2a1n?12=n. =nan和

?评注：本题是关于

an?1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到

an与

an?1的更为明显的关系式，从而求出

an.