高中数学知识要点重温（13）直线及线性规划
1．直线的倾斜角的范围：[0，?)，x轴及平行于x轴的直线倾斜角是0而不是?；y轴及平
?行于y轴的直线的倾斜角为2而不是没有倾斜角（只是斜率不存在）；已知斜率（的范围）会
求倾斜角（的范围），记住：当倾斜角α是锐角时，斜率k与α同增同减，当α是钝角时，k与α也同增同减。斜率的求法：①依据直线方程②依据倾斜角③依据两点的坐标④方向向量
n（以a=（m,n）（m≠0）为方向向量的直线的斜率为m）。关注斜率在求一类分式函数值域时
的运用。
[举例1]已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线 线l的斜率为： ．
倾斜角的一半，则直
3解析：记直线l的倾斜角为?，则直线AB的倾斜角为2?，其斜率tan2?=4?
2tan?313??1?tan2?4 ?tan?=-3或tan?=3而由tan2?=4>0得2?是锐角，则?∈（0，4）， 1∴tan?=3。
[举例2] 函数为 。
解析：记P（cos?,sin?）,A(-3,1) 则y=kPA，P点的轨迹是圆心为原点
y?Si?n?13?Co?s的值域
y A x O 3的单位圆，如右图：当直线PA与圆相切时，其斜率分别为0和4，[
?33?∴y=kPA ∈[4，0]。注：这里存在一个kPA在0与4“之间”还是“之外”的问题，原
?则是其间是否有斜率不存在的情况，若有则在“之外”，若无则在“之间”。 [巩固1] 已知直线l：xcos??y?2?0则l倾斜角的范围是： 。
x2?y2?2x?2y?1?0,则[巩固2]实数x,y满足
y?4x?2的取值范围为 （ ）
用心 爱心 专心
44[,??)[0,]3 A．3 B．
y?x3?x?44(??,?][?,0)3 D．3 C．
23上的动点，设点P处切线的倾斜角为?，则?的取值范围
[迁移] 点P是曲线
????3??????3????3??0,?,?0,,?????,??????2424??? C、?? B、?? D、?24? 是A、?2．“点斜式”是直线方程的最基本形式，是其它各种形式的源头，但它不能表示斜率不存在
的直线；解决“直线过定点”的问题多用“点斜式”。“斜截式”最能体现直线的函数性质（一次函数，一次项系数是斜率），“斜截式”中所含的参数最少（2个，而其它各种形式中都是3个），所以用待定系数法求直线方程时多设为“斜截式”，它也不能表示斜率不存在的直线。 “截距式”最能反映直线与坐标轴的位置关系；注意：截距是坐标而不是距离；在两坐标轴上截距相等的直线斜率为-1或过原点；“截距式”不能表示斜率为0、斜率不存在以及过原点的直线。“两点式”完全可以由“点斜式”替代，“两点式”不能表示斜率为0和斜率不存在的直线，但它的变形（“积式”）：(x2?x1)(y?y1)?(y2?y1)(x?x1)却能表示所有的直线。“一般式”能表示所有的直线，它是直线方程的“终极”形式。
[举例]已知直线l：kx+y-k+2=0和两点A（3，0），B（0，1），下列命题正确的是 （填上所有正确命题的序号）。
①直线l对任意实数k恒过点P（1，-2）；
②方程kx+y-k+2=0可以表示所有过点P（1，-2）的直线； ③当k=±1及k=2时直线l在坐标轴上的截距相等；
x0?y0?1(x?1)(y?2)?(y0?2)(x?1)④若3，则直线0与直线AB及直线l都有公共点；
⑤使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是[-3，1]；
⑥使得直线l与线段AB有公共点的k的范围是(??，-3]∪[1，??)。
解析：①直线l：y +2= - k（x -1）恒过P（1，-2），②方程kx+y-k+2=0不能表示直线x=1，③当
x0?y0?1l3k= -1时直线在坐标轴上的截距相反；④若，则点M（x0,y0）在直线AB上（截
距式），又点P（1，-2）在直线l，而直线
(x0?1)(y?2)?(y0?2)(x?1)过点M，P（两点
式），即与直线AB有公共点M，与直线l有公共点P；⑤⑥直线l与线段AB有公共点，不宜先解方程组再解不等式组（麻烦），数形结合易见，直线l应在直线PA到PB之间，而其间有斜
用心 爱心 专心
率不存在的位置，故命题⑥正确。
[巩固]已知圆C：x2+(y-2)2=1，则在坐标轴上的截距相等且与圆相切的直线有 条？[迁
x2y2??19m移] 对任意实数m，直线（m+2）x-(2m-1)y-(3m-4)=0和椭圆恒有公共点，则m的
取值范围是 。
3.“到角”的范围：（0，?），“到角公式”就是两角差的正切公式，多用于解决与角平分线有
?关的问题；“夹角”的范围：（0，2]。两直线l1：A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0平行、
垂直的条件有“比”和“积”两种形式（重合只有“比式”），如：l1⊥l2?A1A2+B1B2=0，若l1、l2不重合，则l1∥l2?A1B2=A2B1；判断两直线位置关系时要特别注意斜率不存在及斜率为0的情形。
[举例1]直线l1：x=1到直线l2：2x+y+1=0的角是： （ ）
11A．arctan2, B．arctan2 C．?- arctan2 D． arctan(-2)
?解析：记直线l1到l2的角为?，直线l2的倾斜角为?，作图可见?=?-2，tan?=-cot?
1=2,故选B。
[举例2]①已知P（x0,y0）是直线l：f(x,y)=0外一点，则直线f(x,y)+f（x0,y0）=0与直线l的位置关系是 ； ②设a、b、c分别是⊿ABC中角A、B、C的对边，则直线:
xsinA?ay?c?0与直线bx?ysinB?sinC?0的位置关系是 。
解析：①方程f(x,y)=0与f(x,y)+f（x0,y0）=0两变量的系数完全相同，而f（x0,y0）≠0，即常数项不同，故平行；②由正弦定理知：bsinA?asinB?0，故垂直。
[巩固]已知直线l1的方程为y=x，直线l2的方程为y=ax+b(a,b为实数)，当直线l1与l2夹角的
?范围为［0，12)时，a的取值范围是：
3A.(3,1)∪(1,3) 3，B.(0，1) ， C.(3,3) ， D.(1,3)
22x?ay?1?0a?1x?by?3?0互相垂直，a,b?R,则|ab|的最小值[迁移]直线与直线
??用心 爱心 专心
是：A．1 B．2 C．4 D．5 （ ）
4．点到直线的距离公式在求三角形的面积、判断直线与圆的位置关系、求圆的弦长、解决与圆锥曲线的第二定义有关的问题等场合均有运用，推导两平行线间的距离公式也是它的一个运用。
22x?y[举例] 已知5x＋12y＝60，则的最小值是:
131360A. 13 B. 5 C. 12 D. 1
22解析：x?y表示直线l：5x＋12y＝60上的动点到原点的距离，其最小值即原点到直线l的
距离，选A。注：此题若代入消元、配方求最值则很麻烦。
[巩固]直线l过点（1，0），且被两平行直线3x+y-6=0和 3x+y+3=0所截得的线段长为9，则直线l的方程为 。
22(x?1)?(y?2)[迁移] 若动点P（x,y）满足|x+2y-3|=，则P点的轨迹是：
A．圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
22(x?a)?(y?b)[提高]若a、b、c为实数，恒存在实数x,y,使得ay-bx=c≠0,则a、b、c满
足: A.c2≥a2+b2 B.c2>a2+b2 C.c2 5.点M(m,n)关于直线y=±x+b的对称点M’(±n?b，±m+b)，即：将M点的坐标代入对称轴 方程求得M/的坐标；但对称轴斜率不为±1时，只可根据中、垂建立方程组(即MM/与对称轴垂直且其中点在对称轴上)，解出对称点坐标。光线反射问题、角平分线问题、到两定点距离之和（差）的最值问题等都与对称有关。 [举例1]将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A（0，2）与点B（4，0）重合，若此时点C（7，3）与点D（m，n）重合，则m+n的值是 。 解析：“折痕”是AB的中垂线l：y=2x-3，C（7，3）、D（m，n）关于l对称，则： 3??n?3m??7?m?3???2?5??34?n?3??1?n?31?25?m+n=5。 ?m?7???[举例2]在⊿ABC中，已知A（2，3），角B的平分线为Y轴，角C的平分线为l：x+y=4,求BC边所在的直线方程 解析：由题意知直线BA、BC关于Y轴对称，即A关于Y轴的对称点A1(-2,3)在直线BC上；直线CA、CB关于l对称，即A关于l的对称点A2(1,2)在直线CB上；∴直线BC即直线A1A2：x+3y-7=0, [巩固]已知点A在x轴上，点B在直线l：y=x上，C（2，1），则⊿ABC的周长的最小值为 。 用心 爱心 专心
相关推荐：
loading