由已知得BA?AD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，
则A?0,0,0?，B?1,0,0?，C?1,1,0?，P?0,1,3?，PC?(1，0，?3),AB?(1，0，0)， 设M?x,y,z??0?x?1?则BM??x?1,y,z?,PM??x,y?1,z?3?， 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n??0,0,1?是底面ABCD的法向量，
2）
（
【考点】 判定线面平行；面面角的向量求法
【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。
(2)设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与
m?n。mnx2?y2?1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP?2NM。 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：2(1) 求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x??3上，且OP?PQ?1。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) x2?y2?2。 (2)证明略。
（2）由
题意知F??1,0?。设Q??3,t?,P?m,n?,则
OQ???3,t?,PF???1?m,?n?,OQ?PF?3?3m?tn， OP??m,n?,PQ???3?m,t?n?。
由OPPQ?1得?3m?m?tn?n?1，又由（1）知m?n?2，故
22223?3m?tn?0。
所以OQPF?0，即OQ?PF。又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【考点】 轨迹方程的求解；直线过定点问题。 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有：
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0。 (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程。
21.（12分）
已知函数f?x??ax2?ax?xlnx，且f?x??0。 (1)求a；
(2)证明：f?x?存在唯一的极大值点x?20，且e?2?f?x0??2。 【答案】(1)a?1； (2)证明略。
由（1）知 f?x??x2?x?xlnx，f'?x??2x?2?lnx。
设h?x??2x?2?lnx，则h'?x??2?1x。 当x???0,1?? 时，h'?x??1??0 ；当x???2,???2??? 时，h'?x??0 ， 所以h?x? 在??0,1?? 单调递减，在??1?2??2,????? 单调递增。 2）
（（二）
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。 22。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为
?cos??4。
（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|?16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程； （2）设点A的极坐标为(2,2?3)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值。
2【答案】(1)?x?2??y?4?x?0?；
(2) 2?3。
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