用轴对称知识求线段和的最小值

MADBNCP

分析：在梯形ABCD中，因为AB＝CD＝AD，易知梯形ABCD是等腰梯形，又直线MN是梯形ABCD的对称轴，所以直线MN是底边AD、BC的垂直平分线，连接PA，由线段垂直平分线上任一点，到已知线段两端的距离相等知，PA＝PD，所以求PC＋PD的最小值就转化为求PC＋PA的最小值，即求AC的长度即可。 解：连接PA

∵AB＝CD＝AD＝1，∴梯形ABCD是等腰梯形 又直线MN是梯形ABCD的对称轴 ∴PA＝PD

过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，E、F为垂足，易证△ABE≌△DCF，∴BE＝CF

在Rt△ABE中，∵∠B＝60°，AB＝1 在Rt△ABC中，由勾股定理，得

即PA＋PC的最小值为（当A、P、C三点共线时取得最小值）

也可这样求AC的值：

过A点作CD的平行线，交BC于G，则BG＝AB＝1,GC＝AD＝1 ∴BC＝2

而角BCA＝DAC＝DCA，∴角BCA＝30,角BAC＝90度 在三角形ABC中，可求得AC

（五）利用圆的对称性，求线段和的最小值

已知如图,AB是⊙○的直径,AB=2cm,OC⊥AB,点D是弧AC的三等分点,P是OC上一动点,求PA+PD的最小值.

ADOPC图（16）B

ADEOPFC

分析：圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆上任意一点的关于直径所在直线的对称点都在圆上。

解:作点D关于OC的对称点F,连接AF,此时PA+PD的最小值为AF.

因为AB是圆O的直径,OC⊥AB，则弧AC的度数为90，因为D是弧AC的三等分点，所以弧AD的度数是60，弧DC的度数是30，因为点D与点F关于OC的对称，所以且弧DC与弧CF相等,都为30，∴∠AOF=120，作OE⊥AF，则

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B∠AOE=60。在Rt△AOE中，AO= 1cm，∠AOE=60，则AE=，∴AF=

3。

00

（六）利用坐标系的对称性，求线段和的最小值 如图,在直角坐标系中, 有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0，n）、D（m，0），求四边形ABCD周长最短时的值。

86B4B'A2C-10-5D510-2A'-4-6-8