用轴对称知识求线段和的最小值

例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．

解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．

因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，

所以PB=3.

，所以，所以,因为AB＝5，所以

2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值

例4 如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为 ．

分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．

解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，

所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，

所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×的最小值为

．

=．所以PA+PB

2.3在菱形中探求线段和的最小值

例5 如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为 ．

分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．

解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED=

=．所以PE＋PB的最小值为．

2.4在正方形中探求线段和的最小值

例6 如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为 ．

分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．

解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM=为10.

=10.所以DN+MN的最小值