第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
[基础达标]
1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )
A．4 C．2
B．3 D．1
2
2
解析：选C.(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝
12＝2
<1＝r，所以直线与圆相交． 2
2
2
2．直线l：x－y＋m＝0与圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是( )
A．[－2，2] C．[－2－1，2－1]
2
2
B．[－22，22] D．[－22－1，22－1]
解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)＋(y－1)＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到|2－1＋m||m＋1||m＋1|
直线的距离d＝＝，若直线l与圆C恒有公共点，则≤2，解得－22
222－1≤m≤22－1，故选D.
3．若圆x＋y＝a与圆x＋y＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a的值为( ) A．±2 C．－2
解析：选A.圆x＋y＝a的圆心为原点O，半径r＝|a|. 将x＋y＝a与x＋y＋ay－6＝0左右分别相减，
可得a＋ay－6＝0，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a＋ay－6＝0.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B．2 D．无解
?6?2
原点O到直线a＋ay－6＝0的距离d＝?－a?，
?a?
?6?根据勾股定理可得a＝(3)＋?－a?， ?a?
2
2
2
所以a＝4，所以a＝±2.故选A.
4．(2019·台州中学高三月考)若直线y＝kx＋4＋2k与曲线y＝4－x有两个交点，则
2
2
k的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
3??B．?－1，－? 4??D．(－∞，－1]
2
2
2
?3?C．?，1?
?4?
解析：选B.曲线y＝ 4－x即x＋y＝4(y≥0)，
表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示．
直线y＝kx＋4＋2k即y＝k(x＋2)＋4，表示恒过点(－2，4)，斜率为k的直线， 4
结合图形可得kAB＝＝－1，
－4
|4＋2k|33因为＝2，解得k＝－，即k＝－， AT2
441＋k3??所以要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是?－1，－?.
4??
5．圆C：x＋y＋Dx＋Ey－3＝0(D<0，E为整数)的圆心C到直线4x－3y＋3＝0的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|＝4，则E的值为( )
A．－4 C．－8
B．4 D．8
2
2
??解析：选C.圆心C?－，－?.
2??2
由题意得
DE?4×?－D?－3×?－E?＋3?
??2??2????????
4＋（－3）
2
2
＝1，
即|4D－3E－6|＝10，①
在圆C：x＋y＋Dx＋Ey－3＝0中，令y＝0得x＋Dx－3＝0. 设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1＋x2＝－D，x1x2＝－3. 由|MN|＝4得|x1－x2|＝4，即(x1＋x2)－4x1x2＝16， (－D)－4×(－3)＝16. 因为D<0，所以D＝－2.
2
2
2
2
2
将D＝－2代入①得|3E＋14|＝10， 4
所以E＝－8或E＝－(舍去)．
3
6．已知圆C：(x－3)＋(y－1)＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)，(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是( )
2
2
?332?A．?，? ?22??333?C．?，? ?22??323?
，? ?22??333?D．?，? ?22?
B．?
→→2
解析：选D.设P(a，b)为圆上一点，由题意知，AP·BP＝0，即(a＋t)(a－t)＋b＝0，
2222
a2－t2＋b2＝0，所以t＝a＋b＝|OP|，|OP|max＝2＋1＝3，即t的最大值为3，此时kOP＝
3
，3
OP所在直线的倾斜角为30°，所以点P的纵坐标为，横坐标为3×3
2
333?333?＝，即P?，?. 22?22?
2
2
7．(2019·浙江高中学科基础测试)由直线3x－4y＋5＝0上的一动点P向圆x＋y－4x＋2y＋4＝0引切线，则切线长的最小值为________．
解析：当直线上的点到圆心(2，－1)的距离最短时，切线长最小．此时，圆心到直线的距离
d＝|3×2－4×（－1）＋5|
＝3，r＝1，所以切线长为22. 22
3＋（－4）
答案：22
8．(2019·杭州七校联考)已知圆C：(x－3)＋(y－5)＝5，直线l过圆心且交圆C于A，
2
2
B两点，交y轴于P点，若2 PA＝PB，则直线l的斜率k＝________．
解析：依题意得，点A是线段PB的中点，|PC|＝|PA|＋|AC|＝35，过圆心C(3，5)作y轴的垂线，垂足为C1，则|CC1|＝3，|PC1|＝（35）－3＝6.记直线l的倾斜角为θ，|PC1|则有|tan θ|＝＝2，即k＝±2.
|CC1|
答案：±2
9．已知圆C：(x－1)＋(y－2)＝2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为________．
解析：已知圆C：(x－1)＋(y－2)＝2，所以圆心为C(1，2)，半径r＝2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PC⊥AB.在△PAC中，∠APC＝30°，由正弦定理得
|AC|
＝
sin 30°
2
2
2
2
2
2
→→
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