[基础题组练]
1．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 C．Sn＝2n2－8n
B．an＝3n－10 1
D．Sn＝n2－2n
2
解析：选A.法一：设等差数列{an}的公差为d，
4×3????4a1＋2d＝0，?S4＝0，?a1＝－3，
因为?所以?解得?所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－
a＝5，d＝2，?5?????a1＋4d＝5，n（n－1）
1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A.
2
法二：设等差数列{an}的公差为d，
4×3????4a1＋2d＝0，?S4＝0，?a1＝－3，
因为?所以?解得?
?a5＝5，?d＝2.????a1＋4d＝5，选项A，a1＝2×1－5＝－3；
选项B，a1＝3×1－10＝－7，排除B； 选项C，S1＝2－8＝－6，排除C； 13
选项D，S1＝－2＝－，排除D.故选A.
22
2．(一题多解)(2020·沈阳质量监测)在等差数列{an}中，若Sn为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是( )
A．55 C．50
B．11 D．60
解析：选A.通解：设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得11×10
a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55，故选A.
2
优解：设等差数列{an}的公差为d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55，故选A.
3．(一题多解)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差
为( )
A．1 C．4
B．2 D．8
（a1＋a6）×6
解析：选C.法一：等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5，
2又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4，故选C.
法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组，得
??2a1＋7d＝24，? 6×5??6a1＋2d＝48，
???2a1＋7d＝24，?a1＝－2，
即?解得?故选C. ?2a1＋5d＝16，?d＝4，??
4．(2020·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )
17A.升 6113C.升 66
7B．升
2109D．升
33
解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有
??a1＋a2＋a3＋a4＝33417
，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.选A. ?236
??a7＋a8＋a9＝4
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝4，Sm＝0，Sm＋2＝14(m≥2，且m∈N*)，则a2 017的值为( )
A．2 018 C．5 037
解析：选B.由题意得
B．4 028 D．3 019
?m（m－1）
S＝ma＋d＝0，?2
?S－S＝a＋a＝2a＋（m＋m＋1）d＝14，
m
1
m＋2
m
m＋1
m＋2
1
am＝a1＋（m－1）d＝4，
a＝－4，??
解得?m＝5，所以a＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，
??d＝2，
1
n
所以a2 017＝2×2 017－6＝4 028.故选B.
S11
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则＝________．
S511
（a1＋a11）
S11211a622解析：＝＝＝.
S555a35
（a1＋a5）222答案： 5
1
7．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝
2________．
10092
解析：因为S100＝(a1＋a100)＝45，所以a1＋a100＝，a1＋a99＝a1＋a100－d＝，则
210550502
a1＋a3＋a5＋…＋a99＝(a1＋a99)＝×＝10.
225
答案：10
3
8．在单调递增的等差数列{an}中，若a3＝1，a2a4＝，则a1＝________．
4
31
解析：由题知，a2＋a4＝2a3＝2，又因为a2a4＝，数列{an}单调递增，所以a2＝，a4
42a4－a213
＝.所以公差d＝＝.所以a1＝a2－d＝0. 222
答案：0
9．已知等差数列{an}的前三项的和为－9，前三项的积为－15. (1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若{an}为递增数列，求数列{|an|}的前n项和Sn.
解：(1)设公差为d，则依题意得a2＝－3，则a1＝－3－d，a3＝－3＋d， 所以(－3－d)(－3)(－3＋d)＝－15，得d2＝4，d＝±2， 所以an＝－2n＋1或an＝2n－7.
??7－2n，n≤3(2)由题意得an＝2n－7，所以|an|＝?，
??2n－7，n≥4
5＋（7－2n）
①n≤3时，Sn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝n＝6n－n2；
2
②n≥4时，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋…＋an)＝18－6n＋n2.
2??－n＋6n，n≤3
综上，数列{|an|}的前n项和Sn＝?.
2??n－6n＋18，n≥4
10．已知等差数列{an}的公差d>0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36. (1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65. 解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36， 将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5. 因为d>0，所以d＝2.
从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．
(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65. 由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1>1，
???2m＋k－1＝13，?m＝5，
故?解得? ???k＋1＝5，?k＝4.
即所求m的值为5，k的值为4.
[综合题组练]
an
1．等差数列{an}中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )
a2nA．{1}
?1?C.?2? ??
1??
B．?1，2?
?
?
1??
D．?0，2，1?
?
?
ana1＋（n－1）da1－d＋ndan1
解析：选B.＝＝，若a1＝d，则＝；若a1≠0，d＝0，
a2na1＋（2n－1）da1－d＋2nda2n2则
1?anan?
＝1.因为a1＝d≠0，所以≠0，所以该常数的可能值的集合为?1，2?. a2na2n??
2．(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)我国南北朝时期的著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？则据你对数学史
的研究与数学问题的理解可知，两人所得金相差数额绝对值的最小值是( )
1A.斤 137
C.斤 78
7B．斤
391D．斤
11
解析：选C.设第n个人得金an斤，由题意可知{an}是等差数列，设公差为d，
??a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝4，则有?
a＋a＋a＋a＝4a＋30d＝3，?789101?
?解得?
7
?d＝－78，
7
则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤．故选C.
78
a2an
3．若数列{an}是正项数列，且a1＋a2＋…＋an＝n2＋n，则a1＋＋…＋＝
2n________．
解析：当n＝1时，a1＝2?a1＝4，又a1＋a2＋…＋an＝n2＋n ①，所以当n≥2时，a1＋a2＋…＋
an－1＝(n－1)2＋(n－1)＝n2－n ②，①－②得an＝2n，即an＝4n2，
37
a1＝，26
an4n2a2an（4＋4n）n所以＝＝4n，所以a1＋＋…＋＝＝2n2＋2n.
nn2n2
答案：2n2＋2n
4．若{an}是等差数列，首项a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n＝________．
解析：因为a1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032
4 032（a1＋a4 032）4 032（a2 016＋a2 017）4 033（a1＋a4 033）＝＝>0，S4 033＝＝4 033a2 017<0，
222所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4 032.
答案：4 032
5．(2020·湖北仙桃、天门、潜江模拟)已知数列{an}满足a1＝2，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1
an
－2(n2＋3n＋2)，设bn＝.
n＋1
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等差数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式．
相关推荐：
loading