曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)

?P?Q?excosy?m?， ?y?xx故知(esiny?my)dx?(ecosy?mx)dy是某个函数的全微分。 取路径(0,0)?(x,0)?(x,y)， 则一个原函数为U(x,y)?

x?(x,y)(0,0)(exsiny?my)dx?(excosy?mx)dy

(x,y)(0,x)??＝

(0,x)(0,0)x(exsiny?my)dx?(excosy?mx)dy??(exsiny?my)dx?(excosy?mx)dy

?00dx??y0(excosy?mx)dy＝exsiny?mxy

x最后(esiny?my)dx?(ecosy?mx)dy＝U(1,1)?U(0,0)?esin1?m ＃

L?x??2,?1?2、证明曲线积分

??1,0??x?22?y2(xdx?ydy)在XOY面与路径无关，并求值。

3?解：P?x,y??x3?xy ， Q?x,y??x2y?y

?P?Q?2xy? ?y?x可知该曲线积分与路径无关。

??2,?1??1,0??x??2?y(xdx?ydy)?2??2?1?13?xdx??4y?ydy

0?3?1?214? ?x4??2y?y??6 ＃

4?1?4?0

?2?1