高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 导数的概念及运算练习

【创新设计】（浙江专用）2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及

其应用 第1讲 导数的概念及运算练习

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1.(2016·山东师大附中月考)曲线y＝a在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0，则a＝( ) 1A. 2

B.2

xxC.ln 2

1D.ln

2

解析 由题知y′＝aln a，y′|x＝0＝ln a，又切点为(0，1)，故切线方程为xln a－y1

＋1＝0，∴a＝.

2答案 A

2.若f(x)＝2xf′(1)＋x，则f′(0)等于( ) A.2

B.0

C.－2

D.－4

2

解析 f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D

3.(2016·保定调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e

B.－e

1C. e

1D.－

e

1

解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0

x11

＝，切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝

x0x0

1

－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.

e答案 C

4.(2016·湖州高三模拟)曲线y＝e角形的面积为( ) 1A. 3

1B. 2

－2x－2x＋1在点(0，2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三

2

C. 3

)|x＝0＝－2，故曲线y＝e

－2xD.1

＋1在点(0，2)处的切线方程为y＝－

解析 y′|x＝0＝(－2e

?22?2x＋2，易得切线与直线y＝0和y＝x的交点分别为(1，0)，?，?，故围成的三角形的

?33?

1

121面积为×1×＝.

233答案 A

5.(2016·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )

A.－1

B.0

C.2

D.4

11解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－，

33∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知

f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×?－?＝0.

3

答案 B 二、填空题

6.(2015·天津卷)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________.

1??解析 f′(x)＝a?ln x＋x·?＝a(1＋ln x)，由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)

?1???

?x?

＝3，所以a＝3. 答案 3

7.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________.

解析 根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2，0)，所以切线方程为x－y－2＝0. 答案 x－y－2＝0

1x8.(2015·陕西卷)设曲线y＝e在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，

x则P的坐标为________.

2

1xx0

解析 y′＝e，曲线y＝e在点(0，1) 处的切线的斜率k1＝e＝1，设P(m，n)，y＝(xx111

＞0)的导数为y′＝－2(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－2(m＞0)，

xxm因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1). 答案 (1，1) 三、解答题

9.求下列函数的导数： (1)y＝xlg x； π?2?(2)y＝sin?2x＋?； 3??(3)y＝log3(2x＋1). 解 (1)y′＝nx＝xn－1

n－1

nlg x＋x·

n1

xln 10

?nlg x＋1?. ?ln 10???

π?1?2π???2?(2)∵y＝sin?2x＋?＝?1－cos?4x＋??，

3?2?3????2π??1??4x＋∴y′＝－?cos??′ 3?2????

2π???2π?2π?1???＝－·?－sin?4x＋??·?4x＋?′＝2sin?4x＋?.

3???3?3?2???(3)y′＝

12·(2x＋1)′＝. （2x＋1）ln 3（2x＋1）·ln 3

134

10.已知曲线y＝x＋. 33

(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.

1342

解 (1)∵P(2，4)在曲线y＝x＋上，且y′＝x，

33∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.

134?134?(2)设曲线y＝x＋与过点P(2，4)的切线相切于点A?x0，x0＋?，则切线的斜率为

33?33?

y′|x＝x0＝x20.

234?134?22

∴切线方程为y－?x0＋?＝x0(x－x0)，即y＝x0·x－x0＋.∵点P(2，4)在切线上，

3?33?3

3

234232322

∴4＝2x0－x0＋，即x0－3x0＋4＝0，∴x0＋x0－4x0＋4＝0，

33

∴x0(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)＝0，解得x0＝－1，或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.

能力提升题组 (建议用时：40分钟)

11.已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝

2

2

f′2(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 015(x)等于( )

A.－sin x－cos x C.－sin x＋cos x

B.sin x－cos x D.sin x＋cos x

解析 ∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x， ∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x， ∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x， ∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x， ∴fn(x)是以4为周期的函数，

∴f2 015(x)＝f3(x)＝－sin x－cos x，故选A. 答案 A

1

12.已知曲线y＝x，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为( )

e＋1A.x＋4y－2＝0 C.4x＋2y－1＝0 －e

解析 y′＝x2＝

（e＋1）

xB.x－4y＋2＝0 D.4x－2y－1＝0

－11xx，因为e＞0，所以e＋x≥21exe＋x＋2

e

1xe×x＝2(当且仅当

e

11－11xxe＝x，即x＝0时取等号)，则e＋x＋2≥4，故y′＝≤－当(x＝0时取等号).

ee14xe＋x＋2

e1?1?当x＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为?0，?，切线的方程为y－2?2?1

＝－(x－0)，即x＋4y－2＝0.故选A.

4答案 A

13.已知函数f(x)＝x，g(x)＝aln x，a∈R，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有共同的切线，则切线方程为________. 1a解析 f′(x)＝，g′(x)＝(x＞0)，由已知得

x2x 4

?x＝aln x，?e2

解得a＝，x＝e. ?1a2＝，?x?2x122

∴两条曲线交点的坐标为(e，e)，切线的斜率为k＝f′(e)＝，∴切线的方程为y－e

2e＝

11e2

(x－e)，即y＝x＋. 2e2e2

1e答案 y＝x＋

2e2

14.设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12 ＝0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

7

解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，

4

bxb12a－＝，??221b当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是?

2xb7

??a＋4＝4，

2

??a＝1，3

解得?故f(x)＝x－. x?b＝3.?

(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，

3?3?3??由y′＝1＋2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝?1＋2?(x－x0)，即y－?x0－?

x?x0??x0?

6?6?3??＝?1＋2?(x－x0).令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为?0，－?.

?x0?

x0

?x0?

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0). 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为

S＝?－?|2x0|＝6.

2?x0?

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.

1?6? 5