令狐文艳
§2–6无穷小与无穷大的比较
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基础知识导学
1、无穷小的比较
定义1 设α、β是某一极限过程中的两个无穷小，若 lim??c（c为常数） ?则（1）当c ≠ 0时，称在此极限过程中β与α是同阶无穷小；
（2）当c = 0时，称在此极限过程中β是α的高阶无穷小，记作β=o(α)(读作小欧α)；
（3）当c = 1时，称在此极限过程中β与α是等价无穷小，记作β～α。
2、无穷大的比较
定义2 设Y、Z是同一极限过程中的两个无穷大量，
ZYZ （2）如果limY （1）如果lim= c ≠ 0，则称Y与Z是同阶无穷大量；
= ∞时，则称Z是Y的高阶无穷大量；
（3）如果limZk= c ≠ 0（k＞0），则称Z是关于（基本Y无穷大量）Y的k阶无穷大量。
3、无穷小的阶与主部
定义3 把某极限过程中的无穷小α作为基本无穷小，如
?果β与?（k＞0）是同阶的无穷小，即limk= c≠ 0，则称
?k令狐文艳
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β是关于α的k阶无穷小。
重点难点突破
1．关于无穷小的比较
要确定两个无穷小量是同阶、高阶和等价的关系，其实就是求这两个无穷小量比的极限，再根据定义判断两个无穷小的关系。
注意 （1）符号β=O(α)与β～α的含义
β=O(α)表示β是α的高阶无穷小，即
lim??0； ?β～α表示β与α是等价无穷小，即lim??（1） （2）
?1
同阶不一定等价，等价一定同阶。 利用等价无穷小求极限
等价无穷小在求极限的过程中可以进行如下替换： 若α～αˊ，β～βˊ，且lim?????存在，则lim=lim ?????无穷小量的比较表
设在自变量x?x0的变化过程中，?(x)与?(x)均是无穷小量 无穷小的比较 定 义 x?x0?(x)是比?(x)高阶的无穷小 lim?(x)与?(x)是同阶的无穷小 x?xlim?(x)?0 ?(x)?(x)????(x)?（x?x0） 记 号 0a(x)与?(x)是等阶无穷小 ?(x)?C(C为不等于零的常数) ?(x)?(x)x?x0lima(x)?1 ?(x)~?(x)（x?x0） 2．关于无穷小的阶 当x→0时，由恒等式
（ⅰ）o(x)+ o(x)= o(x) 0＜n＜m
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nmn令狐文艳
（ⅱ）o(x) o(x)= o(x) m＞0, n＞0 3．关于无穷小的替换定理
设当x?x时，?1(x)~?2(x)，?1(x)~?2(x)，xlim?x00nmm+n?2(x)存在，则?2(x)x?x0lim?1(x)?2(x)?． ?1(x)?2(x)解题方法指导
1．判断无穷小的阶有以下几种方法（仅供参考）： 例1 当x→0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小 ① x - 3x+ x ②sinxtgx
解：①因为当x→0时，在x - 3x+ x中3x与x都是xx?3x3?x5的高阶无穷小，由恒等式（ⅰ） lim?1
x?0x3
5
3
5
3
5
所以，当x→0时，x - 3x+ x是x的一阶无穷小
②因为当x→0时，sin x～x，tg x～x，由恒等式（ⅱ）
sinxtgx可得 sin x tg x=o(x)，即lim?1 2x?02
3 5
x所以，当x→0时，sin x tg x是x的二阶无穷小 （2）先将原式变形，再判断阶数
例2 当x→0时，下列无穷小量是x的几阶无穷小 ①
1?x?1?x ②tg x –sin x
解：①通过分子有理化将原式变形
1?x?1?x=
2x
1?x?1?x1?x?1?x是
由此看出，当x→0时，事实上
x的一阶无穷小，
②通过三角函数的公式将原式变形
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