高等几何试题

高等几何试题

一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。

3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点x?(x1,x2,x3)在一直线u??u1,u2,u3?上的充要条件是

（ ）。

5、 已知(p1p2,p3p4)?3,则(p4p3,p2p1)=（ ），(p1p3,p2p4)=（ ）。 6、 如果四直线p1,p2,p3,p4满足(p1p2,p3p4)??1，则称线偶p3,p4和p1,p2

（ ）。

7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是

（ ）。

8、 不在二阶曲线上的两个点P(p1p2p3)，Q(q1q2q3)关于二阶曲线

。 S??aijxixj?0成共轭点的充要条件是（ ）9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分）

x2y21、 计算椭圆的面积（椭圆方程：2?2?1 a,b?0）

ab2、 求共点四线l1:y?k1x，l2:y?k2x，l3:y?k3x，l4:y?k4x的交比。

??x???x1?1?3、 求射影变换??x2??x2的不变元素。

??x3??x3??4、 求二阶曲线6x12?x22?24x32?11x2x3?0经过点P(1,2,1)的切线方程。

1

5、 求双曲线x2?2xy?3y2?2x?4y?0的渐近线方程。 6、 求抛物线2x2?4xy?2y2?4x?1?0的主轴和顶点。

7、 求使三点O(0,?)，P(1,?1)顺次变到点O?(2,3)，P?(3,?7) E(1,1)，E?(2,5)，

的仿射变换。

三、已知A(1,2,3)，B(5,?1,2)，C(11,0,7)，D(6,1,5)，验证它们共线并求

（8分） (AB,CD)的值。

四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条

二阶曲线。（9分）

2

答案 一、

1、仿射不变量 2、平行直线 3、透视中心 4、u1x1?u2x2?u3x3?0 5、3 2 6、调和分离 7、任何四个对应点的交比相等 8、Spq?0 9、这个变换使圆点保持不变 二、

x2y21、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为2?2?1

ab?x??x经过仿射变换 ?a ① ??y?y?b?其对应图形为圆。

x?2?y?2?a2

在仿射变换①之下，A?A?，B?B?，O?O?，所以VAOB对应VA?OB?，其中A?A?，根据定理3.6推论2，有

椭圆面积圆面积? SVAOBSVA?OB?椭圆面积?a2?所以 112aba22因此所给椭圆的面积为?ab。

2、解：化为齐次方程： l1:x2?k1x1?0 l2:x2?k2x1?0

l3:x2?k3x1?0 l4:x2?k4x1?0

取a:x2?0,b:x1?0为基线，则有

3

l1(a?k1b),l2(a?k2b),l3(a?k3b),l4(a?k4b) 由定理1.11的推论，得

(l1l2,l3l4)?(?k1?k3)(?k2?k4)

(?k2?k3)(?k1?k4)3、解：由方程

?1??01??0001???0

00得 (1??)(1??)(1??)?0 所以 ?1??1， ?2?1（重根） 将??1代入（3.4.3）得

?(?1?1)y1?0y2?0y3?0? ?0y1?(1?1)y2?0y3?0

?0y?0y?(1?1)y?023?1于是得y1?0为不变点列（即y轴），y1?0这条直线上的点都是不变点，

因此这条直线是不变直线。

4、解：将P点的坐标代入二阶曲线方程中得 Spq?0 所以P点在二阶曲线上，故切线方程为 Sp?0

?60?0???x1??即 (1,2,1)?0?1112??x?0

???2??x??011??24?3??2?亦即 12x1?7x2?26x3?0 为所求切线方程。 5、解：设渐近线的方程为

a11x1?a12x2?a13x3?k(a12x1?a22x2?a32x3)?0 根据（2.9）有 ?3k2?2k?1?0

4