高考数学精品复习资料
2019.5
第4练 再谈“三个二次”的转化策略
[内容精要] 函数与不等式是高考的热点和重点，其中“二次”又是各不等式的基础．“三个二次”经常相互转化，相辅相成，可以说是“密不可分”，是一个有机的整体，解决好这部分题目时要学会触类旁通．
题型一 函数与方程的转化
?|lg x|，x>0，?
例1 设定义域为R的函数f(x)＝?2则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零
??－x－2x，x≤0，
点的个数为________．
破题切入点 将函数的零点问题转化为对应方程根的问题． 答案 7
1
解析 由y＝2f2(x)－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1，
2
1
如图画出f(x)的图象，由f(x)＝知有4个根，由f(x)＝1知有3个根，故函数y＝2f2(x)－3f(x)
2＋1共有7个零点．
题型二 函数与不等式的转化
1
例2 已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－1或x>}，则f(10x)>0的解集为( )
2A．{x|x<－1或x>lg 2}
B．{x|－1 C．{x|x>－lg 2} D．{x|x<－lg 2} 1 破题切入点 由题意，可得f(10x)>0等价于－1<10x<，由指数函数的单调性即可求解． 2答案 D 1 解析 方法一 由题意可知f(x)>0的解集为{x|－1 21 故f(10x)>0等价于－1<10x<， 2 由指数函数的值域为(0，＋∞)，知一定有10x>－1， 11 而10x<可化为10x<10lg ， 22即10x<10 －lg 2 . 由指数函数的单调性可知x<－lg 2，故选D. 方法二 当x＝1时，f(10)<0，排除A，C选项． 1 当x＝－1时，f()>0，排除B. 10题型三 方程与不等式的转化 例3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围． 破题切入点 将二次函数的特殊点按照题目要求固定到区间内，转化为不等式(组)进行求解． 解 (1)由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如右图所示， ??f?－1?＝2>0得?f?1?＝4m＋2<0??f?2?＝6m＋5>0 51即－ 62 f?0?＝2m＋1<0 ? ?m∈R，??1 m<－， 2 ?m>－5.?6 1m<－， 2 51 故m的取值范围是(－，－)． 62 (2)抛物线与x轴交点的横坐标均在区间(0,1)内，如右图所示，列不等式组 f?0?>0??f?1?>0?Δ≥0??0<－m<1 ??m>－1，??2 m≥1＋2或m≤1－??－1 1m>－， 2 2， 1 即－ 2 1 故m的取值范围是(－，1－2]． 2 总结提高 “三个二次”是一个整体，不可分割．有关“三个二次”问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理． 1．若A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x>0}，且A∩B＝?，则实数p的取值范围是( ) A．p>－4 C．p≥0 答案 A 解析 当A＝?时，Δ＝(p＋2)2－4<0， ∴－4 当A≠?时，方程x2＋(p＋2)x＋1＝0有一个或两个非正根， ?Δ≥0，?∴?∴p≥0. ?x＋x＝－?p＋2?≤0，?12 B．－4 综上所述，p>－4. 2．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为( ) A．[1，＋∞) C．(－∞，－2] 答案 D 解析 ∵f(x)＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，当x＝1时，f(x)min＝2，故m≥1，又∵f(0)＝3，f(2)＝3，∴m≤2.综上可知1≤m≤2. 3 3．方程x2－x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是( ) 2 B．[0,2] D．[1,2] 9 A．m≤－ 165 C．m≥ 2答案 D 95B．－ 162 339 x－?2－，x∈[－1,1]． 解析 m＝x2－x＝?2?4?165 当x＝－1时，m取最大值为， 2 3995当x＝时，m取最小值为－，∴－≤m≤. 416162 ?x＋1，x≤0，? 4．已知函数f(x)＝?2若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解， ??x－2x＋1，x>0， 则a的取值范围是( ) A．(0,1) B．(0,2) C．(1,2) D．(0,3) 答案 A 解析 设t＝f(x)， 则方程为t2－at＝0， 解得t＝0或t＝a， 即f(x)＝0或f(x)＝a. 如图，作出函数f(x)的图象， 由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个， 故要使方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解， 则方程f(x)＝a的解必有三个，此时0 5．(20xx·重庆)若a 解析 由于a 又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线， 因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A. 6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1 B．(－∞，a)和(a，b)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
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