专题六 圆的有关证明与计算
圆的切线的判定与性质
【例1】 (2016·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．
(1)求证：AB是⊙O的直径；
(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；
(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．
分析：(1)连接AD，证AD⊥BC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长．
解：(1)连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明：连接OD，∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE与圆O相切
(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得BF
13322
＝6－3＝33，则DE＝BF＝
22圆与相似
【例2】 (2016·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝2，DF＝2BF，求AH的值．
BCAB
＝，可求出BC，再由BGBC
2
△BFC∽△BCD得BC＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CG＝AG，可证CH＝CB，即可求出AC.
解：(1)连接CD，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线
(2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，BCAB2
∴＝，即BC＝BG·BA＝48，∴BC＝43，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BGBC
分析：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得
BC＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝BC－FB＝42，∴CG＝CF＋FG
22
＝52，在Rt△BFG中，BG＝BF＋FG＝32，∵BG·BA＝48，∴BA＝82，∴AG＝52，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝43，
ACBCCB·CG20383
∵△ABC∽△CBG，∴＝，∴AC＝＝，∴AH＝AC－CH＝
CGBGBG33
222
1．(2016·长沙)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.
(1)求∠CDE的度数；
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．
解：(1)∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°
(2)连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切线
(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝
DCDE2222
90°，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴DC＝AD·DE.设DE＝x，则AC＝25x，AC－AD＝DC
ADDC＝AD·DE，即(25x)－AD＝AD·x，整理得AD＋AD·x－20x＝0，解得AD＝4x或AD＝－
AD4x22
5x(舍去)，则DC＝（25x）－（4x）＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝2
DC2x
2．(2016·安顺)如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
2
(2)若tan∠ACB＝，BC＝2，求⊙O的半径．
2
2
2
2
2
解：(1)直线CE与⊙O相切. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，连接OE，有OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE
AB2
是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切 (2)∵tan∠ACB＝＝，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠
BC2ACB＝2，∴AC＝6.又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝
2
2
2
，∴DE＝DC·tan∠2
2
2
DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝CD＋DE＝3，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO＝OE
6222
＋CE，即(6－r)＝r＋3，解得r＝
4
1．(2016·百色)如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.
(1)求证：∠1＝∠CAD；
(2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．
解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD
2
(2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD＝CA·CE，∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝22，设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x，在Rt△
222222
AOC中，OA＋AC＝OC，∴x＋4＝(22＋x)，解得x＝2，∴⊙O的半径为2
2．(导学号 )(2016·常德)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.
(1)求证：BE是⊙O的切线；
(2)若BC＝3，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．
解：(1)连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线
(2)设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB
15
⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝AC＝，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB，
22∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴
DBDE3DE3
＝，∴＝，∴DE＝，∵∠OBE＝∠OFD＝CACB553
52OFODRAC22
90°，∴DF∥BE，∴＝，∴＝，∵R＞0，∴R＝3，∴AB＝AD－BD＝33，∵
OBOER3AB
R＋5BD311＝，∴BE＝ BE5
3．(导学号 )(2016·天门)如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG∶OC＝3∶5，AB＝8.
(1)求⊙O的半径；
︵
(2)点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．
解：(1)连接AO，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝4，∵OG∶OC＝3∶5，∴
222
设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴(3k)＋4＝(5k)，解得k＝1或k＝－1(舍去)，∴5k＝5，即⊙O的半径是5
(2)将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点
2
353120×π×5153
N，∴MN＝MO·sin60°＝5×＝，∴S阴影＝S扇形OMC－S△OMC＝－×5×＝
223602225π25325π253
－，即图中阴影部分的面积是－ 3434
4．(导学号 )(2016·包头)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，B重合)，DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.
(1)求证：AE＝BF；
(2)连接GB，EF，求证：GB∥EF； (3)若AE＝1，EB＝2，求DG的长．
解：(1)连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB为
1
圆O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A
2
＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，又∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，可证△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF
(2)连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF，∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三
角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF
2
(3)∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴根据勾股定理得EF2222
＝EB＋BF，∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝2＋1＝5，∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝
DE2210
90°，∴cos∠DEF＝＝，∵EF＝5，∴DE＝5×＝，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠
EF222GEEB10210
AED，∴△GEB∽△AED，∴＝，即GE·ED＝AE·EB，∴·GE＝2，∴GE＝，则AEED25910
GD＝GE＋ED＝ 10
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