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2017中考数学总复习专题六圆的有关证明与计算试题新人教版

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专题六 圆的有关证明与计算

圆的切线的判定与性质

【例1】 (2016·临夏州)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DE⊥AC,垂足为E,⊙O经过A,B,D三点.

(1)求证:AB是⊙O的直径;

(2)判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明;

(3)若⊙O的半径为3,∠BAC=60°,求DE的长.

分析:(1)连接AD,证AD⊥BC可得;(2)连接OD,利用中位线定理得到OD与AC平行,可证∠ODE为直角,由OD为半径,可证DE与圆O相切;(3)连接BF,先证三角形ABC为等边三角形,再求出BF的长,由DE为三角形CBF中位线,即可求出DE的长.

解:(1)连接AD,∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切,证明:连接OD,∵O,D分别为AB,BC的中点,∴OD为△ABC的中位线,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴DE⊥OD,∵OD为圆的半径,∴DE与圆O相切

(3)∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AB=AC=BC=6,连接BF,∵AB为圆O的直径,∴∠AFB=∠DEC=90°,∴AF=CF=3,DE∥BF,∵D为BC的中点,∴E为CF的中点,即DE为△BCF中位线,在Rt△ABF中,AB=6,AF=3,根据勾股定理得BF

13322

=6-3=33,则DE=BF=

22圆与相似

【例2】 (2016·泸州)如图,△ABC内接于⊙O,BD为⊙O的直径,BD与AC相交于点H,AC的延长线与过点B的直线相交于点E,且∠A=∠EBC.

(1)求证:BE是⊙O的切线;

(2)已知CG∥EB,且CG与BD,BA分别相交于点F,G,若BG·BA=48,FG=2,DF=2BF,求AH的值.

BCAB

=,可求出BC,再由BGBC

2

△BFC∽△BCD得BC=BF·BD,可求出BF,再求出CF,CG,GB,通过计算发现CG=AG,可证CH=CB,即可求出AC.

解:(1)连接CD,∵BD是直径,∴∠BCD=90°,即∠D+∠CBD=90°,∵∠A=∠D,∠A=∠EBC,∴∠CBD+∠EBC=90°,∴BE⊥BD,∴BE是⊙O切线

(2)∵CG∥EB,∴∠BCG=∠EBC,∴∠A=∠BCG,又∵∠CBG=∠ABC,∴△ABC∽△CBG,BCAB2

∴=,即BC=BG·BA=48,∴BC=43,∵CG∥EB,∴CF⊥BD,∴△BFC∽△BCD,∴BGBC

分析:(1)证∠EBD=90°即可;(2)由△ABC∽△CBG得

BC=BF·BD,∵DF=2BF,∴BF=4,在Rt△BCF中,CF=BC-FB=42,∴CG=CF+FG

22

=52,在Rt△BFG中,BG=BF+FG=32,∵BG·BA=48,∴BA=82,∴AG=52,∴CG=AG,∴∠A=∠ACG=∠BCG,∠CFH=∠CFB=90°,∴∠CHF=∠CBF,∴CH=CB=43,

ACBCCB·CG20383

∵△ABC∽△CBG,∴=,∴AC==,∴AH=AC-CH=

CGBGBG33

222

1.(2016·长沙)如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.

(1)求∠CDE的度数;

(2)求证:DF是⊙O的切线;

(3)若AC=25DE,求tan∠ABD的值.

解:(1)∵对角线AC为⊙O的直径,∴∠ADC=90°,∴∠EDC=90°

(2)连接DO,∵∠EDC=90°,F是EC的中点,∴DF=FC,∴∠FDC=∠FCD,∵OD=OC,∴∠OCD=∠ODC,∵∠OCF=90°,∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=∠OCF=90°,∴DF是⊙O的切线

(3)∵∠E+∠DCE=90°,∠DCA+∠DCE=90°,∴∠DCA=∠E,又∵∠ADC=∠CDE=

DCDE2222

90°,∴△CDE∽△ADC,∴=,∴DC=AD·DE.设DE=x,则AC=25x,AC-AD=DC

ADDC=AD·DE,即(25x)-AD=AD·x,整理得AD+AD·x-20x=0,解得AD=4x或AD=-

AD4x22

5x(舍去),则DC=(25x)-(4x)=2x,故tan∠ABD=tan∠ACD===2

DC2x

2.(2016·安顺)如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD,AC分别交于点E,F,且∠ACB=∠DCE.

(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;

2

(2)若tan∠ACB=,BC=2,求⊙O的半径.

2

2

2

2

2

解:(1)直线CE与⊙O相切. 理由如下:∵四边形ABCD是矩形,∴BC∥AD,∴∠ACB=∠DAC,又∵∠ACB=∠DCE,∴∠DAC=∠DCE,连接OE,有OA=OE,则∠DAC=∠AEO=∠DCE.∵∠DCE+∠DEC=90°,∴∠AEO+∠DEC=90°,∴∠OEC=90°,即OE⊥CE.又OE

AB2

是⊙O的半径,∴直线CE与⊙O相切 (2)∵tan∠ACB==,BC=2,∴AB=BC·tan∠

BC2ACB=2,∴AC=6.又∵∠ACB=∠DCE,∴tan∠DCE=tan∠ACB=

2

2

2

,∴DE=DC·tan∠2

2

2

DCE=1.在Rt△CDE中,CE=CD+DE=3,设⊙O的半径为r,则在Rt△COE中,CO=OE

6222

+CE,即(6-r)=r+3,解得r=

4

1.(2016·百色)如图,已知AB为⊙O的直径,AC为⊙O的切线,OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于点E.

(1)求证:∠1=∠CAD;

(2)若AE=EC=2,求⊙O的半径.

解:(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠BDO=90°,∵AC为⊙O的切线,∴OA⊥AC,∴∠OAD+∠CAD=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∵∠1=∠BDO,∴∠1=∠CAD

2

(2)∵∠1=∠CAD,∠C=∠C,∴△CAD∽△CDE,∴CD∶CA=CE∶CD,∴CD=CA·CE,∵AE=EC=2,∴AC=AE+EC=4,∴CD=22,设⊙O的半径为x,则OA=OD=x,在Rt△

222222

AOC中,OA+AC=OC,∴x+4=(22+x),解得x=2,∴⊙O的半径为2

2.(导学号 )(2016·常德)如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且BD=BC,延长AD到E,且有∠EBD=∠CAB.

(1)求证:BE是⊙O的切线;

(2)若BC=3,AC=5,求圆的直径AD及切线BE的长.

解:(1)连接OB,∵BD=BC,∴∠CAB=∠BAD,∵∠EBD=∠CAB,∴∠BAD=∠EBD,∵AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,OA=OB,∴∠BAD=∠ABO,∴∠EBD=∠ABO,∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABO+∠OBD=∠ABD=90°,∵点B在⊙O上,∴BE是⊙O的切线

(2)设圆的半径为R,连接CD,∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∵BC=BD,∴OB

15

⊥CD,∴OB∥AC,∵OA=OD,∴OF=AC=,∵四边形ACBD是圆内接四边形,∴∠BDE=∠ACB,

22∵∠DBE=∠CAB,∴△DBE∽△CAB,∴

DBDE3DE3

=,∴=,∴DE=,∵∠OBE=∠OFD=CACB553

52OFODRAC22

90°,∴DF∥BE,∴=,∴=,∵R>0,∴R=3,∴AB=AD-BD=33,∵

OBOER3AB

R+5BD311=,∴BE= BE5

3.(导学号 )(2016·天门)如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为G,OG∶OC=3∶5,AB=8.

(1)求⊙O的半径;

(2)点E为圆上一点,∠ECD=15°,将CE沿弦CE翻折,交CD于点F,求图中阴影部分的面积.

解:(1)连接AO,∵CD为⊙O的直径,AB⊥CD,AB=8,∴AG=4,∵OG∶OC=3∶5,∴

222

设⊙O的半径为5k,则OG=3k,∴(3k)+4=(5k),解得k=1或k=-1(舍去),∴5k=5,即⊙O的半径是5

(2)将阴影部分沿CE翻折,点F的对应点为M,∵∠ECD=15°,由对称性可知,∠DCM=30°,S阴影=S弓形CBM,连接OM,则∠MOD=60°,∴∠MOC=120°,过点M作MN⊥CD于点

2

353120×π×5153

N,∴MN=MO·sin60°=5×=,∴S阴影=S扇形OMC-S△OMC=-×5×=

223602225π25325π253

-,即图中阴影部分的面积是- 3434

4.(导学号 )(2016·包头)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A,B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.

(1)求证:AE=BF;

(2)连接GB,EF,求证:GB∥EF; (3)若AE=1,EB=2,求DG的长.

解:(1)连接BD,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,∴∠A=∠C=45°,∵AB为

1

圆O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,∴AD=DC=BD=AC,∠CBD=∠C=45°,∴∠A

2

=∠FBD,∵DF⊥DG,∴∠FDG=90°,∴∠FDB+∠BDG=90°,又∵∠EDA+∠BDG=90°,∴∠EDA=∠FDB,可证△AED≌△BFD(ASA),∴AE=BF

(2)连接EF,BG,∵△AED≌△BFD,∴DE=DF,∵∠EDF=90°,∴△EDF是等腰直角三

角形,∴∠DEF=45°,∵∠G=∠A=45°,∴∠G=∠DEF,∴GB∥EF

2

(3)∵AE=BF,AE=1,∴BF=1,在Rt△EBF中,∠EBF=90°,∴根据勾股定理得EF2222

=EB+BF,∵EB=2,BF=1,∴EF=2+1=5,∵△DEF为等腰直角三角形,∠EDF=

DE2210

90°,∴cos∠DEF==,∵EF=5,∴DE=5×=,∵∠G=∠A,∠GEB=∠

EF222GEEB10210

AED,∴△GEB∽△AED,∴=,即GE·ED=AE·EB,∴·GE=2,∴GE=,则AEED25910

GD=GE+ED= 10

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