二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数
1．（2014?北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）． （1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
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考点： 待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值． 专题： 计算题． 分析： （1）将A与B坐标代入抛物线解析式求出m与n的值，确定出抛物线解析式，求出对称轴即可； （2）由题意确定出C坐标，以及二次函数的最小值，确定出D纵坐标的最小值，求出直线BC解析式，令x=1求出y的值，即可确定出t的范围． 2解答： 解：（1）∵抛物线y=2x+mx+n经过点A（0，﹣2），B（3，4）， 代入得：， 解得：， 2∴抛物线解析式为y=2x﹣4x﹣2，对称轴为直线x=1； （2）由题意得：C（﹣3，﹣4），二次函数y=2x﹣4x﹣2的最小值为﹣4， 由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4， 设直线BC解析式为y=kx+b， 将B与C坐标代入得：解得：k=，b=0， ∴直线BC解析式为y=x， 当x=1时，y=， 则t的范围为﹣4≤t≤． ， 2菁优网
www.jyeoo.com 点评： 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 2．（2011?石景山区二模） 考点： 二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式． 专题： 探究型． 分析： （1）先设出过A（﹣2，0）、B（4，0）两点的抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出a的值，进而得出此抛物线的解析式； （2）先用待定系数法求出直线CD解析式，再根据抛物线平移的法则得到（1）中抛物线向下平移m各单位所得抛物线的解析式，再将此解析式与直线CD的解析式联立，根据两函数图象有交点即可求出m的取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位；同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位． 解答： 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4）， ∵C点坐标为（0，4）， ∴a=﹣，（1分） ∴解析式为y=﹣x+x+4， 顶点D坐标为（1，）；（2分） （2）直线CD解析式为y=kx+b． 则，， 2∴， ∴直线CD解析式为y=x+4，（3分） ∴E（﹣8，0），F（4，6）， ?2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 若抛物线向下移m个单位，其解析式y=﹣x+x+4﹣m（m＞0）， 2由消去y，得﹣x+x﹣m=0， 2∵△=﹣2m≥0， ∴0＜m≤， ∴向下最多可平移个单位．（5分） 若抛物线向上移m个单位，其解析式y=﹣x+x+4+m（m＞0）， 方法一：当x=﹣8时，y=﹣36+m， 当x=4时，y=m， 要使抛物线与EF有公共点，则﹣36+m≤0或m≤6， ∴0＜m≤36；（7分） 方法二：当平移后的抛物线过点E（﹣8，0）时，解得m=36， 当平移后的抛物线过点F（4，6）时，m=6， 由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度，（7分） 综上，要使抛物线与EF有公共点，向上最多可平移36个单位，向下最多可平移个单位． 点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点问题，有一定的难度．
3．（2013?丰台区一模）二次函数y=x+bx+c的图象如图所示，其顶点坐标为M（1，﹣4）． （1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．
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考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与几何变换． 分析： （1）确定二次函数的顶点式，即可得出二次函数的解析式． （2）求出两个边界点，继而可得出n的取值范围． 2解答： 解：（1）因为M（1，﹣4）是二次函数y=（x+m）+k的顶点坐标， 22所以y=（x﹣1）﹣4=x﹣2x﹣3， （2）令x﹣2x﹣3=0， 解之得：x1=﹣1，x2=3，
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www.jyeoo.com 故A，B两点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0）． 如图，当直线y=x+n（n＜1）， 经过A点时，可得n=1， 当直线y=x+n经过B点时， 可得n=﹣3， ∴n的取值范围为﹣3＜n＜1， 2翻折后的二次函数解析式为二次函数y=﹣x+2x+3 2当直线y=x+n与二次函数y=﹣x+2x+3的图象只有一个交点时， 2x+n=﹣x+2x+3， 2整理得：x﹣x+n﹣3=0， 2△=b﹣4ac=1﹣4（n﹣3）=13﹣4n=0， 解得：n=， ， 或﹣3＜n＜1． ∴n的取值范围为：n＞由图可知，符合题意的n的取值范围为：n＞ 点评： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识，难点在第二问，关键是求出边界点时n的值． 4．（2009?北京）已知关于x的一元二次方程2x+4x+k﹣1=0有实数根，k为正整数． （1）求k的值；
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（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b（b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．
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