2012数学期末复习提纲与习题 （经管系适用）
《应用数学基础Ⅱ》复习提纲
（一） 知识点梳理
第一部分 线性代数（期末占权重30%）
1、熟练掌握矩阵的计算：矩阵的加减法、数乘矩阵、矩阵乘法（重点！必会！）、矩阵的转置。 2、熟练掌握矩阵的初等变换，会利用初等变换化行阶梯型矩阵和行最简阶梯型矩阵。
①交换矩阵的任意两行ri?rj；②以数k(k?0)乘以矩阵的任意一行中的所有元素k?ri； ③把某行的k倍加到另一行对应元素上，kri?rj。
3、会求矩阵的秩：先将矩阵化为阶梯矩阵；数出该阶梯矩阵中非零行的行数即为矩阵的秩 4、掌握消元法实质及利用矩阵形式解线性方程组具体步骤
5、掌握线性方程组有解的充要条件：系数矩阵A与增广矩阵A的秩相等，即：r(A)?r(A)；
且当 r(A)?r(A)?n(未知量个数)时,有唯一解;
r(A)?r(A)?r?n时,有无穷多解,且自由未知量个数为(n?r)个; r(A)?r(A)时,原方程组无解。
6、会求非齐次线性方程组的全部解，齐次线性方程组的非零解。
r(A)。
第二部分 概率论（期末占权重70%）
1、了解随机现象、随机实验、随机事件、样本空间、样本点的概念。
2、熟练掌握概率的古典定义：如果基本事件的总数为n，事件A所包含的基本事件个数为m，（m?n），则定义事件A的概率为 例如：典型题4
3、理解并掌握概率的基本性质，并能使用概率的加法公式和乘法公式，理解条件概率。
? 概率基本性质： 0?P?A??1; P????1; P????0; ? 加法公式：
① 对于任意的两个事件A,B：
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
mn.即：P?A??mn?A包含的样本点数?中样本点总数. 例如：（典型题５就是３个事件的加法公式，一般我们用两个事件加法公式较多）
② 对于互斥（互不相容）的两个事件A,B：
2012年 应用科技学院数学教研室
1
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P?A?B??P?A??P?B? 其中P(AB)?0
例如：设事件A与B互不相容（互斥），P(A)?0.4，P(B)?0.5，则P(AB)、P(A?B)分别为（ A ）
A. 0、0.９
B. 0.10、0.90
D. 0.20、0.90
C. 0.20、0.7
P(AB）?0 P(A?B)?P(A)?P(B)?0.4?0.5?0.9
③对于独立的两个事件A,B：
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B) 其中P(AB)?P(A)P(B)
例如：设事件A与B相互独立，P(A)?0.4，P(B)?0.5，则P(AB)、P(A?B)分别为（ C ）
A. 0、0.９
B. 0.10、0.90
D. 0.20、0.90
C. 0.20、0.7
P(AB）?P(A)P(B)?0.4?0.5?0.2
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.4?0.5?0.4?0.5?0.7
? 条件概率： P?BA??P?AB?P?A? 称为事件B在给定条件A下的条件概率。 ，? 乘法公式： 对任意两个事件A与B， 有P?A??0,P?B??0,则有：
P?AB??P?A?P?BA?. 或 P?AB??P?B?P?AB?. ? 独立事件的乘法公式： 若事件A与B独立，则有：P?AB??P?A?P?B?. 4、理解随机变量的概念、分类，掌握离散型、连续型随机变量及概率分布的概念和性质。 5、掌握正态分布概念及有关计算
2? 正态分布：X~N(?,?)，X的概率密度：f(x)?12???(x??)2?22e?,????x???
2? 标准正态分布：X~N(0,1)，其概率密度为：?(x)?12?x2e2,????x???
6、重点掌握正态分布有关计算
?
标准正态分布：X~N(0,1)，
2P?a?X?b???(b)??(a);
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P?X?a??1??(a); 或 P?X?b???(b) . ???x??1???x?
?
一般正态分布 X~N(?,?2)，令Y?X??2?，则Y~N(0,1)
P?a?X?b???(b???)??a(???)
. P?X?a??1??(a????(b???). 或P?X?b??).
例如：典型题7
7、掌握数学期望的概念及它们的性质，掌握常见分布的期望计算。 ? 离散型数学期望期望： ??E?X???xipi
i?1? 连续型随机变量期望： E?X???????xf?x?dx
8、掌握方差的概念及它们的性质，掌握常见分布的方差计算。 ? 方差定义式： D?X??E?2?X?E?X???； ? 方差计算式：D?X??E?X2???2?E?X???. （要求熟记！ ）
因为D(X)?0，所以E(X2)?[E(X)]2
? 其中课本215页关于二项分布、正态分布的数学期望E(X)、D(X)值必须熟记！ 二项分布：X~B(n,p)：E(X)?np；D(X)?np(1?p) 正态分布：X~N(?,?2)：E(X)??；D(X)??2
（二） 典型题及解析
1、 设A??3?52??312??2?1???01?1?，B????4?30?，C????03?，求（1）A?B; （2）ATC2.?解: （1）A?B??3?52??312??6?44???01?1?????4?30?????4?2?1?; ??30??15?（2）ATC2???1??2?1?2?30???5??1??4?5??12????3???59???34??2?1?0??????2?1???0??20?;
??8?19??2012年 应用科技学院数学教研室
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?22、 设A???301?4?2??B??6,??5????48??1, 求满足4A?2X?BT的矩阵X． ??2??12解:因为4A?2X?BT，所以X?T?BT?4A?
B?4???8??61?4??8?，4A???12?2???04?8?? 20??1??4所以X???2???8?61?4??8?????2???12?33?104?8??1??4?????20???2??4?6?34???2?????22???2??33?22?? ?11???4?3、 求矩阵A??3??1?2???2的秩r?A?. ?1??解: ?4?A??3??1??33?12??1??r1?r3?2??????3??41????13?31??12?3r1?r?r3?4r1?2??????0?02????1011??1?r?r?231??????0?0?2????1101???2? 1??所以r(A)?3
4、 一袋中装有10个球，其中4个黑球、6个白球，先后两次从袋中不放回地任取一球，求“两次取
到的均是黑球”的概率。
解:设事件A=“两次取到的均是黑球”，由古典概型可知
n?10?9?90，m?4?3?12
所以P(A)?1290?215
5、 某城市发行的报纸中，经调查订阅A,B,C三种报纸的比例是0.4，0.45，0.35，同时订阅两种
报纸AB,AC,BC的比例分别是0.08,0.10,0.06，同时订阅三种报纸ABC的比例是0.03，求：“至少订阅一种报纸”的概率。
解: 已知 P(A)?0.4，P(B)?0.45，P(C)?0.35
P(AB)?0.08, P(AC)?0.10, P(BC)?0.06, P(ABC)?0.03
由加法公式得：至少订阅一种报纸的概率为：
P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P?AB??P?AC??P?BC??P?ABC?
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