圆锥曲线关于面积的最大值

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x2y29. (2008湖北文)已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点为F:(?2,0),F:(2,0),点P(3,7)的曲线C上.

ab （Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为22,求直线

l的方程

10. (2008湖北理)如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点， ∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F. 若△OEF的面积不小于．．．2．2，求直线l斜率的取值范围.

(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， ∴

1?k2?0,??(?4k)?4?6(1?k)?0,22?

k??1,?3?k?3.

∴k∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=｜EF｜＝(x1?x2)2?(y1?x2)2?224k6,于是 ,xx??1221?k1?k223?k21?k2(1?k2)(x1?x2)2

2＝1?k?(x1?x2)?4x1x2?1?k?而原点O到直线l的距离d＝

21?k2，

2112223?k22223?k?1?k??. ∴S△DEF=d?EF??22221?k21?k1?k若△OEF面积不小于22,即S△OEF?22，则有

223?k21?k2?22?k4?k2?2?0,解得?2?k?2.　 ③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2).

18．(2008全国Ⅱ卷文、理)设椭圆中心在坐标原点，A(2，，0)B(0，1)是它的两个顶点，直线y?kx(k?0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

y （Ⅰ）若ED?6DF，求k的值；

B F （Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

D 2x O x2A ?y?1， 18．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为4E 直线AB，EF的方程分别为x?2y?2，y?kx(k?0)． ··············································· 2分如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1?x2，且x1，x2满足方程(1?4k)x?4，故x2??x1?2221?4k2．①

由ED?6DF知x0?x1?6(x2?x0)，得x0?由D在AB上知x0?2kx0?2，得x0?所以

1510(6x2?x1)?x2?；

27771?4k2． 1?2k210?，

21?2k71?4k2化简得24k?25k?6?0，

23解得k?或k?．··············································································································· 6分

38（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为

x1?2kx1?22(1?2k?1?4k2)h1??，

255(1?4k)h2?x2?2kx2?25?2(1?2k?1?4k2)5(1?4k)2． ······································································ 9分

又AB?22?1?5，所以四边形AEBF的面积为

1AB(h1?h2) 214(1?2k) ?5225(1?4k)2(1?2k)? 21?4kS?1?4k2?4k ?21?4k2≤22，

1时，上式取等号．所以S的最大值为22． ······························ 12分 2解法二：由题设，BO?1，AO?2．

当2k?1，即当k?设y1?kx1，y2?kx2，由①得x2?0，y2??y1?0，故四边形AEBF的面积为 S?S△BEF?S△AEF

?x2?2y2 ································································································································· 9分

?(x2?2y2)2 22?x2?4y2?4x2y2 22≤2(x2?4y2) ?22，

当x2?2y2时，上式取等号．所以S的最大值为22． ················································· 12分

1x2y2例4、如图，椭圆C：2+2?1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过原点2abO的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求?ABP的面积取最大时直线l的方程．

x2y22 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的离心率e=，且椭圆C上的点到

3abQ（0，2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，

且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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