3.8 圆内接正多边形
1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点)
2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点) 3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点)
一、情境导入
这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？
二、合作探究
探究点：圆内接正多边形
【类型一】 圆内接正多边形的相关计算
已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、
周长和面积．
解析：根据题意画出图形，可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB的长，继而求得正六边形的周长和面积．
解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC1
＝×360°＝60°，∴中心角是60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC.∵OH6＝3，sin∠OBC＝＝OHOB3180°×（6－2），∴OB＝BC＝2.∴内角为 ＝120°，外角为60°，26
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周长为2×6＝12，S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6××2× 3＝63.
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方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的
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计算要熟练掌握．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题 【类型二】 圆内接正多边形的画法 如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．
解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．
解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°； (2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°； ︵︵
(2)在⊙O上用圆规截取AC＝AB；
(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形． 方法三：(1)作直径AD；
(2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C； (3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形． 方法四：(1)作直径AE；
(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C； (3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．
方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题 【类型三】 正多边形外接圆与内切圆的综合
如图，已知正三角形的边长为2a.
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(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；
(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？ (3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？ (4)已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积． 解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．
解：(1)设正三角形ABC的中心为O，BC切⊙O于点D，连接OB、OD，则OD⊥BC，BD＝
DC＝a.则S圆环＝π·OB2－π·OD2＝πOB2－OD2＝π·BD＝πa；
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(2)只需测出弦BC(或AC，AB)的长； (3)结果一样，即S圆环＝πa； (4)S圆环＝πa.
方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 【类型四】 圆内接正多边形的实际运用 如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②)，
点O为中心(下列各题结果精确到0.1m)．
(1)求地基的中心到边缘的距离；
(2)已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？
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解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边360°
形的性质得到半边所对的角是＝36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是
1026÷10＝2.6，最后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计算．
解：(1)作OM⊥AB于点M，连接OA、OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．由正五边1
形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，∴∠AOM＝36°.∵AB＝×26＝5.2，∴AM＝2.6.在Rt△
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3
AMO中，边心距OM＝
2.6
＝≈3.6(m)．所以，地基的中心到边缘的距离约为3.6m；
tan36°tan36°
AM(2)3.6－1－1.6＝1(m)．
所以，塑像底座的半径最大约为1m.
方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为数学问题来解答．熟悉正多边形各个元素的算法．
三、板书设计
圆内接正多边形
1．正多边形的有关概念 2．正多边形的画法 3．正多边形的有关计算
本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.
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